Прямоугольники

Пусть: $a = x$ и $b = y$ – стороны прямоугольника.

Из условия:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 28 \\ \sqrt{x^2 + y^2} = 10 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение:

$$x + y = 14 \Rightarrow y = 14 - x$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2 + (14 - x)^2 = 100\Leftrightarrow x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100 \Leftrightarrow 2x^2 - 28x + 96 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 196 - 192 = 4$$

$$x = \frac{14 \pm 2}{2}$$

$$x_1 = 8, \quad x_2 = 6$$

Тогда стороны равны 8 и 6.

Площадь прямоугольника:

$$S = 8 \times 6 = 48$$

Пусть: $a = x$ и $b = y$ – стороны прямоугольника.

Из условия:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 34 \\ x \cdot y = 60 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение:

$$x + y = 17 \Rightarrow y = 17 - x$$

Подставим во второе уравнение:

$$x(17 - x) = 60$$ $$17x - x^2 = 60$$ $$x^2 - 17x + 60 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 289 - 240 = 49$$ $$x = \frac{17 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = 12, \quad x_2 = 5$$

Тогда стороны равны 12 и 5.

Диагональ прямоугольника:

$$d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Пусть: $a = 4x$ – одна из сторон прямоугольника, $b = 5x$ – его диагональ.

По теореме Пифагора для треугольника $ACD$:

$$b^2 = a^2 + 6^2 \Leftrightarrow 25x^2 = 16x^2 + 36$$ $$9x^2 = 36 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$$

Тогда вторая сторона прямоугольника равна: $4x = 8$

Найдём площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD} = a\cdot 6 = 6\cdot8 = 48$$

Пусть: $a = x$ и $b = 2x$ – стороны прямоугольника.

Вычислим $x$ через его периметр:

$$P = 2a + 2b = 2x + 4x = 6x = 18 \Leftrightarrow x = 3$$

Найдём площадь прямоугольника:

$$S = a \cdot b = x \cdot 2x = 3 \cdot 6 = 18$$

Пусть: $a = x$ и $b = 2x$ – стороны прямоугольника.

Вычислим $x$ через его площадь:

$$S = a \cdot b = x \cdot 2x = 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3$$

Найдём периметр прямоугольника:

$$P = 2a + 2b = 2x + 4x = 6x = 18$$