Скалярное произведение векторов

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов: $$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b| }$$ Где $\alpha$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (-4 - (-1); 2 - (-4)) = (-3; 6)$$ $$\vec b = (5 - (-3); 1 - 5) = (8; -4)$$

Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{45}$$ $$|\vec b| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80}$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec b = (-3)\cdot 8 + 6\cdot(-4) = -24 - 24 = -48$$

Тогда: $$\cos \alpha = \frac{-48}{\sqrt{45}\cdot\sqrt{80}} = \frac{-48}{4\sqrt{5}\cdot3\cdot\sqrt{5}} = -\frac{48}{60} = -0,8$$

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (-7 -(-1); 3 - (-2)) = (-6; 5)$$ $$\vec b = (5 - 5; 1 - (-4) = (0; 5)$$ $$\vec c = (-6 -1; -1 -4) = (-7; -5)$$ $$\vec d = \vec b + \vec c = (0 - 7; 5 - 5) = (-7; 0)$$ Найдём скалярное произведение $\vec a\cdot (\vec b + \vec c) = \vec a\cdot\vec d$ $$\vec a\cdot\vec d = -6\cdot(-7) + 5\cdot0 = 42$$

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (-7 -(-1); 5 -2) = (-6; 3)$$ $$\vec b = (-5 - 5; -2 - (-4) = (-10; 2)$$ Найдём скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$ $$\vec a\cdot\vec b = -6\cdot(-10) + 3\cdot2 = 66$$

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (5 -(-3); 1 - 6) = (8; -5)$$ $$\vec b = (-6 - 1; 2 - 5 = (-7; -3)$$ $$\vec c = (-6 -3; -4 -(-4)) = (-9; 0)$$ $$\vec d = \vec b - \vec c = (- 7 - (-9); -3 - 0) = (2; -3)$$ Найдём скалярное произведение $\vec a\cdot (\vec b - \vec c) = \vec a\cdot\vec d$ $$\vec a\cdot\vec d = 8\cdot2 -5\cdot(-3) = 31$$

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов: $$\vec a\cdot \vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a| \cdot|\vec b|}$$ Где $\alpha$ – угол между векторами.

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (1 - 3; 5 - (-1)) = (-2; 6)$$ $$\vec b = (5 - (-7); -3 -1) = (12; -4)$$ Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{40}$$ $$|\vec b| = \sqrt{(12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{160}$$ Найдём их скалярное произведение: $$\vec a\cdot \vec b = (-2)\cdot12 -4\cdot 6=-48$$

Найдём косинус угла между векторами: $$\cos \alpha = \frac{-48}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{160}} = \frac{-48}{\sqrt{4\cdot16\cdot100}} = \frac{-48}{2\cdot4\cdot10} = -\frac{48}{80} = -0,6$$