Скалярное произведение векторов

Формула скалярного произведения через длины векторов и угол между ними: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$

Подставляем известные значения:

$$12 = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Упрощаем выражение: $$12 = \cancel{2}\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| = 2|\vec{b}|$$

Находим длину вектора $\vec{b}$: $$|\vec{b}| = \frac{12}{2} = 6$$

Пусть точка $A$ начало координат.

Найдём координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB} = (4 - 0, 3 - 0) = (4, 3)$$ $$\overrightarrow{AC} = (2 - 0, -1 - 0) = (2, -1)$$

Найдём скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 4\cdot 2 + 3\cdot(-1) = 8 - 3 = 5$$

Пусть $\alpha$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Выразим косинус угла из формулы скалярного произведения: $$\cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$$

Найдём длины векторов и их скалярное произведение: $$|\vec a| = \sqrt{14^2 + (-2)^2} = \sqrt{200}$$ $$|\vec b| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{50}$$ $$\vec a \cdot \vec b = 14\cdot(-7) + (-2)\cdot(-1) = -96$$ Подставим в формулу: $$\cos \alpha = \frac{-96}{\sqrt{200\cdot50}} = \frac{-96}{100} = -0,96$$

Введём обозначение: $\vec u = 3\vec a$, $\vec v = 4\vec b$. Найдём координаты $\vec u$ и $\vec v$: $$\vec u = (3 \cdot 2,2; 3 \cdot (-4)) = (6,6; -12)$$ $$\vec v = (4 \cdot (-1,25); 4 \cdot (-1)) = (-5; -4)$$ Найдём скалярное произведение через координаты векторов: $$\vec u \cdot \vec v = 6,6 \cdot (-5) + (-12) \cdot (-4) = -33 + 48 = 15$$

Введём обозначение: $\vec d = \vec b + \vec c$. Найдём координаты $\vec d$: $$\vec d = (2 + c_0; -1 + 3) = (c_0 + 2; 2)$$ Найдём скалярное произведение векторов через их координаты. Тогда по условию: $$\vec a \cdot \vec d = 0 \Leftrightarrow 2\cdot(c_0 + 2) + (-3)\cdot2 = 0 \Leftrightarrow 2c_0 + 4 - 6 = 0 \Leftrightarrow 2c_0 = 2 \Leftrightarrow c_0 = 1$$