Степенные уравнения и неравенства

Подставим известные значения в уравнение температуры: $$1870 = 1600 + 105t - 5t^2$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$5t^2 - 105t + 1600 - 1870 = 0$$ $$5t^2 - 105t - 270 = 0$$

Разделим уравнение на 5 для упрощения: $$t^2 - 21t + 54 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 441 - 216 = 225$$ $$t = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{21 \pm 15}{2}$$

Получаем два корня: $$t_1 = \frac{21 + 15}{2} = 18 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{21 - 15}{2} = 3$$

Анализируем полученные решения:

• При $t = 3$ минуты температура достигает 1870 K - это момент, когда прибор нужно отключить.
• При $t = 18$ минут температура снова достигает 1870 K, но это уже момент перегрева прибора.

Ответ: 3

Установим уравнение для момента полного опорожнения бака ($H(t) = 0$): $$0 = \frac{1}{768}t^2 - \frac{1}{8}t + 3$$

Умножим все члены уравнения на 768 для устранения дробей: $$0 = t^2 - 96t + 2304$$

Решим полученное квадратное уравнение: $$t^2 - 96t + 2304 = 0$$

Вычислим дискриминант: $$D = (-96)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 9216 - 9216 = 0$$

Найдём корень уравнения (так как D=0, корень один): $$t = \frac{96}{2} = 48 \text{ минут}$$

Ответ: 48

Подставляем данные в формулу: $$2250 = 15t + \frac{6}{2}t^2$$

Упрощаем уравнение: $$2250 = 15t + 3t^2 \quad \Rightarrow \quad t^2 + 5t - 750 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3000}}{2} = \frac{-5 \pm 55}{2}$$

Выбираем положительный корень: $$t = 25 \text{ минут}$$

Ответ. 25

Составляем неравенство для высоты: $$1{,}6 + 13t - 5t^2 \geq 6$$

Переносим все члены в одну сторону: $$-5t^2 + 13t - 4{,}4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 5t^2 - 13t + 4{,}4 \leq 0$$

Находим корни уравнения: $$t = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 88}}{10} = \frac{13 \pm 9}{10}$$ $$t_1 = 2{,}2\, \text{с}, \quad t_2 = 0{,}4\, \text{с}$$

Анализируем интервал: $$\Delta t = 2{,}2 - 0{,}4 = 1{,}8\, \text{с}$$

Ответ. 1{,}8

Подставляем данные в формулу: $$90 = 24t - \frac{3}{2}t^2$$

Упрощаем уравнение: $$3t^2 - 48t + 180 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 16t + 60 = 0$$

Находим корни: $$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}$$ $$t_1 = 6\, \text{с}, \quad t_2 = 10\, \text{с}$$

Анализируем физический смысл: $$t_{\text{ост}} = \frac{v_0}{a} = 8\, \text{с}, \quad \text{поэтому } t = 6\, \text{с}$$

Ответ. 6