Степенные уравнения и неравенства

1. Запишем уравнение для операционной прибыли: $$\pi(q) = q(p - v) - f = 300\,000$$

2. Подставим известные значения: $$q(500 - 300) - 700\,000 = 300\,000$$

3. Выполним вычисления в скобках: $$q \times 200 - 700\,000 = 300\,000$$

4. Перенесём постоянные расходы в правую часть: $$200q = 300\,000 + 700\,000$$ $$200q = 1\,000\,000$$

5. Найдём объём производства $q$: $$q = \frac{1\,000\,000}{200} = 5\,000 \text{ единиц}$$

Ответ. 5000

Запишем условие удлинения рельса: $$l(t^\circ) - l_0 = 3 \, \text{мм} = 0{,}003 \, \text{м}$$

Подставим формулу для длины: $$10(1 + 1{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot t^\circ) - 10 = 0{,}003$$

Упростим уравнение: $$10 \times 1{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot t^\circ = 0{,}003$$ $$12 \cdot 10^{-5} \cdot t^\circ = 0{,}003$$

Решим уравнение относительно $t^\circ$: $$t^\circ = \frac{0{,}003}{12 \cdot 10^{-5}} = \frac{0{,}003}{0{,}00012} = 25 \, ^\circ C$$

Ответ: 25

Преобразуем формулу для нахождения времени: $$t^2 = \frac{2mS}{F}$$

Подставим известные значения: $$t^2 = \frac{2 \times 1500 \times 600}{2000} = \frac{1\,800\,000}{2000} = 900$$

Найдём время торможения: $$t = \sqrt{900} = 30 \, \text{с}$$

Ответ. 30

Исходная формула: $$P = \sigma ST^4$$

Подставляем значения: $$4{,}104 \cdot 10^{27} = (5{,}7 \cdot 10^{-8}) \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot 10^{21}\right) \cdot T^4$$

Упрощаем коэффициенты: $$4{,}104 \cdot 10^{27} = \frac{5{,}7}{18} \cdot 10^{13} \cdot T^4$$ $$\frac{5{,}7}{18} = \frac{19}{60} \approx 0{,}3167$$

Решаем относительно $T^4$: $$T^4 = \frac{4{,}104 \cdot 10^{27}}{0{,}3167 \cdot 10^{13}}$$ $$T^4 \approx 12{,}96 \cdot 10^{14}$$ $$T^4 = 1296 \cdot 10^{12}$$

Выражаем температуру: $$T = \sqrt[4]{1296 \cdot 10^{12}}$$ $$T = 6 \cdot 10^3 = 6000 \text{ К}$$

Запишем уравнение адиабатического процесса: $$3{,}2 \cdot 10^6 \cdot V^{\frac{5}{3}} = 10^5$$

Разделим обе части на $3{,}2 \cdot 10^6$: $$V^{\frac{5}{3}} = \frac{10^5}{3{,}2 \cdot 10^6} = \frac{1}{32}$$

Возведём обе части в степень $\frac{3}{5}$: $$V = \left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{3}{5}} = \left(2^{-5}\right)^{\frac{3}{5}} = 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \, \text{м}^3$$

Ответ. 0{,}125