Степенные уравнения и неравенства

Установим момент полного опорожнения ($H(t) = 0$): $$0 = \frac{1}{81}t^2 - \frac{5}{9}t + 6,25$$

Умножим все члены уравнения на 81: $$0 = t^2 - 45t + 506,25$$

Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \cdot 1 \cdot 506,25}}{2} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 2025}}{2} = \frac{45}{2} = 22,5\,\text{минут}$$

Ответ: 22,5

Уравнение для предельной температуры: $$1600 = 1450 + 180t - 30t^2$$

Перенесём все слагаемые: $$30t^2 - 180t + 150 = 0$$

Сократим на 30: $$t^2 - 6t + 5 = 0$$

Найдём корни: $$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$ $$t_1 = 5\,\text{мин}, t_2 = 1\,\text{мин}$$

Анализ решения:

• При $t = 1$ мин — первое достижение 1600 K
• При $t = 5$ мин — второе достижение 1600 K (парабола)

Прибор нужно отключить через 1 минуту.

Ответ: 1

Уравнение для предельной температуры: $$1720 = 1300 + 98t - \frac{14}{3}t^2$$

Умножим на 3: $$5160 = 3900 + 294t - 14t^2$$

Перенесём все слагаемые: $$14t^2 - 294t + 1260 = 0$$

Сократим на 14: $$t^2 - 21t + 90 = 0$$

Найдём корни: $$t = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 360}}{2} = \frac{21 \pm 9}{2}$$ $$t_1 = 15\,\text{мин}, t_2 = 6\,\text{мин}$$

Анализ решения:

• При $t = 6$ мин — первое достижение 1720 K
• При $t = 15$ мин — второе достижение 1720 K (парабола)

Максимальное безопасное время — 6 минут.

Ответ: 6

Составим неравенство для высоты не менее 6 метров: $$2 + 12t - 5t^2 \geq 6$$

Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$-5t^2 + 12t - 4 \geq 0$$ $$5t^2 - 12t + 4 \leq 0$$

Найдём корни соответствующего уравнения: $$5t^2 - 12t + 4 = 0$$ $$D = 144 - 80 = 64$$ $$t = \frac{12 \pm 8}{10}$$ $$t_1 = \frac{12 + 8}{10} = 2\,\text{с}, \quad t_2 = \frac{12 - 8}{10} = 0,4\,\text{с}$$

Анализ решения:

• График функции — парабола ветвями вниз
• Неравенство выполняется между корнями: $t \in [0,4; 2]$
• Время нахождения на высоте $\geq 6$ м: $2 - 0,4 = 1,6$ с

Ответ: 1,6

Найдём, в какой момент времени после начала работы температура станет равной 1400 К. Задача сводится к решению уравнения $T(t)=1400$ при заданных значениях параметров $a$ и $b$:

$$680+224t-16t^2=1400 \Leftrightarrow t^2-14t+45=0 \Leftrightarrow \begin{cases} t=5,\\ t=9. \end{cases}$$

Через 5 минут после включения прибор нагреется до 1400 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 5 минут.