Тригонометрические функции

1. Найдём производную функции: $$y' = 2\cos x - (2x-3)\sin x - 2\cos x = -(2x-3)\sin x$$

2. Найдём нули производной на интервале: $$-(2x-3)\sin x = 0$$ На $(0;\frac{\pi}{2})$: $\sin x > 0$, значит $2x-3 = 0 \Rightarrow x = 1,5$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет максимум в точке $x=1,5$.

1. Найдём производную функции: $$y' = -\cos x - (0.5-x)\sin x + \cos x = (x-0.5)\sin x$$

2. Найдём нули производной на интервале: $$(x-0.5)\sin x = 0$$ На $(0;\frac{\pi}{2})$: $\sin x > 0$, значит $x-0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет минимум в точке $x=0.5$.

1. Найдём производную функции: $$y' = -2\cdot\frac{1}{\cos^2 x} + 4$$

2. Найдём нули производной: $$-\frac{2}{\cos^2 x} + 4 = 0 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4}$$

3.Анализ поведения функции:

Функция достигает наибольшего значения либо в точке $x=-\frac{\pi}{3}$, либо в точке $x = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y\left(-\frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot tg\frac{\pi}{3} -4\frac{\pi}{3} -\pi - 3$$ $$y\left(\frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot tg\frac{\pi}{4} -\pi + \pi - 3 = -5$$

Наибольшее из двух значений: $y\left(\frac{\pi}{4} \right) = -5$

1. Найдём производную функции: $$y' = -14 + \frac{7}{\cos^2 x}$$

2. Найдём нули производной: $$-14 + \frac{7}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2}$$

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4} \quad \text{на отрезке} \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right]$$

1. Исследуем поведение функции:

Функция может иметь наименьшее значение в точках: $x = -\frac{\pi}{3}$ или $x = \frac{\pi}{4}$:

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 7\cdot tg\frac{\pi}{4} -3.5\pi + 3.5\pi + 11 = 7 + 11 = 18$$ $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -7\cdot tg\frac{\pi}{3} + 14\cdot\frac{\pi}{3} + 3.5\pi + 11$$

Наименьшее из двух значений: $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 18$

1. Найдём производную функции: $$y' = -4\sin x - 20$$

2. Найдём нули производной: $$-4\sin x - 20 = 0 \Rightarrow \sin x = -5$$ Нет корней, так как $\sin x \in [-1,1]$

3. Производная отрицательна на всём отрезке, значит функция убывает. Тогда наибольшее значение функция принимает в левом конце промежутка: $$y(0) = 4\cos 0 - 20\cdot0 + 7 = 4 + 7 = 11$$