Тригонометрические функции

1. Найдём производную: y' = (4x - 4\tg x + 12)' = 4 - \frac{4}{\cos^2 x} = -4(\frac{1}{\cos^2x} - 1) = -4tg^2x \leq 0\

Функция убывает на всём отрезке, так как её производная $y' \leq0$ на всём отрезке, поэтому наименьшее значение функции будет в точке $x=0$: $$y(0) = 0 - 0 + 12 = 12$$

1. Найдём производную: $$y' = (2\tg x - 4x + \pi - 3)' = \frac{2}{\cos^2 x} - 4$$

2. Найдём, нули производной: $$\frac{2}{\cos^2 x} - 4 = 0 \Longleftrightarrow\frac{2}{\cos^2 x} = 4 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \Longleftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

3. Исследуем поведение функции на заданном отрезке:

1. Наименьшие значения функции могут быть в точках $-\frac{\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{4}$: $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{7\pi}{3} - 2\sqrt{3} -3$$ $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) > 0$$ $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2(1) - 4(\frac{\pi}{4}) + \pi - 3 = 2 - \pi + \pi - 3 = -1$$

Наименьшее значение: $-1$

1. Найдём производную: $$y' = (14x - 7\tg x - 3.5\pi + 11)' = 14 - \frac{7}{\cos^2 x}$$

2. Найдём, нули производной: $$14 - \frac{7}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4}$$

3. Исследуем поведение функции:

1. Вычислим значения в ключевых точках: $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{14\pi}{3} + 7\sqrt{3} - 3.5\pi + 11$$ $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{14\pi}{4} - 7\cdot1 - 3.5\pi + 11 = 3.5\pi - 7 - 3.5\pi + 11 = 4$$

Наибольшее значение: $4$ в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

1. Найдем производную функции: $$y' = (7\cos x + 16x - 2)' = -7\sin x + 16$$

2. Анализ производной: Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$-7 \leq -7\sin x \leq 7$$ $$9 \leq -7\sin x + 16 \leq 23$$ Следовательно, $y' > 0$ на всем отрезке.

3. Функция возрастает на отрезке, поэтому наибольшее значение достигается в правом конце: $$y(0) = 7\cos 0 + 16 \cdot 0 - 2 = 7 - 2 = 5$$

1. Найдем производную функции: $$y' = (13x - 9\sin x + 9)' = 13 - 9\cos x$$

2. Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то:

$$-9 \leq- 9\cos x \leq 9$$ $$4 \leq 13 - 9\cos x \leq 22$$ Следовательно, $y' > 0$ на всем отрезке.

1. Функция возрастает на отрезке, поэтому наименьшее значение достигается в левом конце: $$y(0) = 13 \cdot 0 - 9\sin 0 + 9 = 9$$