Тригонометрические функции

Найдём производную функции: $$y' = (7\sin x - 8x + 9)' = 7\cos x - 8$$

Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$-7 \leq 7\cos x \leq 7$$ $$-15 \leq 7\cos x - 8 \leq -1$$ Таким образом, $y' < 0$ на всём отрезке.

Функция строго убывает, поэтому наименьшее значение в правом конце: $$y(0) = 7\sin 0 - 8\cdot 0 + 9 = 9$$

Найдём производную функции: $$y' = \left(6\cos x + \frac{24}{\pi}x + 5\right)' = -6\sin x + \frac{24}{\pi}$$

Найдём нули производной: $$-6\sin x + \frac{24}{\pi} = 0$$ $$\sin x = \frac{4}{\pi}$$ Так как $\sin x \leq 1$, производная никогда не равна 0.

Значение производной при $x = -\frac{2\pi}{3}$: $$y'\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -6\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{24}{\pi} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{24}{\pi} > 0$$

Функция строго возрастает, поэтому наименьшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 6\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{24}{\pi}\cdot\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) - 16 + 5 = -14$$

Найдём производную функции: $$y' = \left(10\sin x - \frac{36}{\pi}x + 7\right)' = 10\cos x - \frac{36}{\pi}$$

Найдём нули производной: $$10\cos x - \frac{36}{\pi} = 0$$ $$\cos x = \frac{3.6}{\pi}$$ Так как $\cos x \leq 1$, производная никогда не равна 0.

Значение производной при $x = -\frac{5\pi}{6}$: $$y'\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{36}{\pi} = 10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{36}{\pi} < 0$$

Функция строго убывает, поэтому наибольшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{36}{\pi}\cdot\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 7 = -5 + 30 + 7 = 32$$

Найдём производную функции: $$y' = \left(2\cos x - \frac{18}{\pi}x + 4\right)' = -2\sin x - \frac{18}{\pi}$$

Анализ производной: Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$-2 \leq -2\sin x \leq 2$$ $$-2 - \frac{18}{\pi} \leq -2\sin x - \frac{18}{\pi} \leq 2 - \frac{18}{\pi}$$ Таким образом, $y' < 0$ на всём отрезке.

Функция строго убывает, поэтому наибольшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 2\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{18}{\pi}\cdot\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 4 = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 12 + 4 = 15$$

Найдём производную функции: $$y' = \left(5\sin x + \frac{24}{\pi}x + 6\right)' = 5\cos x + \frac{24}{\pi}$$

Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$-5 + \frac{24}{\pi} \leq y' \leq 5 + \frac{24}{\pi}$$ Поскольку $\frac{24}{\pi} > 6 \quad(\frac{24}{4} = 6)$ а $4$ > $\pi$, то $\frac{24}{\pi} > \frac{24}{4} = 6 > 5 \implies y' > 0$ на всём отрезке.

Функция строго возрастает, поэтому наименьшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{24}{\pi}\cdot\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 6 = -2.5 - 20 + 6 = -16,5$$