МКТ, механическое равновесие

Для решения задачи обозначим длину верхней части сосуда за $d$, а нижнюю за $l-d$. Теперь рассмотрим силы, действующие в данной системе: на верхний поршень действует сила атмосферного давления $F_\text{а.}=p_0S_1$ и давления газа под поршнем $F_\text{г.}=pS_1$, на нижний поршень так же действует сила атмосферного давления $F_\text{а.}'=p_0S_2$ и давления газа под поршнем $F_\text{г.}'=pS_2$. Так же на каждый поршень действует сила тяжести, а так как поршни соединены, то обозначим их суммарную массу поршней за $m$, тогда суммарная сила тяжести для обоих поршней будет равна $F_\text{т.}=mg$.
Т.е условие равновесия для данной системы имеет вид: $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}+m\vec{g}=0$ и так как стенки гладкие, внешнее давление и масса поршне не изменятся, то можно сделать вывод, что и при перемещении поршня.
Теперь рассмотрим объём сосуда в первом состоянии, он составит $V_1=dS_1+(l-d)S_2$, тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона $$pV_1=\nu RT_1$$ Для второго состояния $V_2=(d-x)S_1+(l-d+x)S_2$, тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона $$pV_2=\nu RT_2$$ И вычитая одно уравнение из другого получим:
$$p(V_2-V_1)=\nu R\Delta T\Rightarrow \Delta T=\frac{p(V_2-V_1)}{\nu R}=\frac{px(S_2-S_1)}{\nu R}=\frac{9\cdot10^4\cdot3\cdot10^{-2}\cdot(190-40)\cdot10^{-4}}{0.2\cdot8.31}\approx 24.4\,\text{К}$$

Ответ: $24.4\,\text{К}$

Для решения задачи заметим, что температуры воды и воздуха в пузырьке постоянна, поэтому можем считать процесс происходящий с газом в шаре изотермическим, тогда справедливо соотношение:
$$p_1V_1=p_2V_2$$ Причём в даном случае давление шара на дне озера $p_1$ равно $p_1=p_0+\rho gH$, а на глубине h $p_2=p_0+\rho gh$, тогда получим уравнение: $$(p_0+\rho gH)V_1=(p_0+\rho gh)V_2\Rightarrow H=\frac{(p_0+\rho gh)V_2-p_0V_1}{\rho gV_1}=\frac{(10^5+10^3\cdot10\cdot1)\cdot3\cdot10^{-6}-10^5\cdot2\cdot10^{-6}}{10^3\cdot10\cdot2\cdot10^{-6}}=6.5\,\text{м}$$

Ответ: $6.5\,\text{м}$

Для начала рассмотрим систему до того как откачали газ. В начале на поршень действовало две силы давления газа: сила давления газа в верхней части цилиндра $F_1=p_1S$, направленная вниз, и сила давления газа в нижней части цилиндра $F_2=p_2S$, направленная вверх. И так как поршень находится в равновесии, то выполняется второй закон Ньютона $mg+p_1S=p_2S$, где $p_1$ и $p_2$ – давления газа в верхней и нижней частях цилиндра соответственно, $m$ – масса поршня, $S$ – площадь поршня. Из этого уравнения видим, что давление газа в верхней части сосуда меньше, чем в нижней, а значит объём в верхней части сосуда больше, чем в нижней. А значит если объем газа в нижней части равно $V$, то в верхней части $2V$.
Далее воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева, согласно которому:
$$pV=\nu RT \Rightarrow p=\frac{\nu RT}{V}$$ Тогда давление в каждой части сосуда составит:
$$p_1=\frac{\nu RT}{2V} \quad\quad\quad p_2=\frac{\nu RT}{V}$$ Тогда массу груза можно найти по формуле из второго закона Ньютона:
$$mg=p_2S-p_1S=\frac{\nu RTS}{2V}$$ Далее перейдем к рассмотрению системы после откачки газа. В данном случае при откачке поршень будет подниматься вверх, до того момента, когда сила тяжести будет уравновешена силой давления газа в нижней части сосуда, тогда справедливо следующее уравнение из второго закона Ньютона:
$$mg=pS \Rightarrow p=\frac{mg}{S}=\frac{\nu RT}{2V}$$ Где $p$ – давление газа. Далее запишем уравнение Клапейрона — Менделеева, откуда объём газа в нижней части сосуда равен:
$$V'=\frac{\nu RT}{p}=2V$$ То есть в нижней части объем газа будет в 2 раза больше, чем в верхней и значит искомое отношение объема верхней части цилиндра к объему нижней части станет равным 0.5.
Ответ: 0.5.

1. После объединения сосудов масса водяного пара остаётся прежней: $$\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 = \rho (V_1 + V_2),$$ где $\rho_1, \rho_2$ — плотности пара до снятия перегородки, $V_1, V_2$ — объёмы частей, $\rho$ — плотность пара после снятия перегородки. Поделим на плотность насыщенного пара при данной температуре: $$\frac{\rho_1}{\rho_\text{н}} V_1 + \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}} V_2 = \frac{\rho}{\rho_\text{н}} (V_1 + V_2).$$

2. По определению относительной влажности: $$\varphi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_\text{н}}, \qquad \varphi_2 = \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}}, \qquad \varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{н}},$$ то есть: $$\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2 = \varphi (V_1 + V_2).$$

Отсюда: $$\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2} = \frac{\varphi_1 + \varphi_2 \dfrac{V_2}{V_1}}{1 + \dfrac{V_2}{V_1}} = \frac{0.6 + 0.7 \cdot 3}{1 + 3} = 0.675 = 67,5\,\%.$$

1. После удаления перегородки суммарная масса пара сохраняется: $$\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 = \rho (V_1 + V_2),$$ где $\rho_1$ и $\rho_2$ — плотность пара до снятия перегородки в объёмах $V_1$ и $V_2$, $\rho$ — плотность после объединения. Поделим обе части на плотность насыщенного пара: $$\frac{\rho_1}{\rho_\text{н}} V_1 + \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}} V_2 = \frac{\rho}{\rho_\text{н}} (V_1 + V_2).$$

2. По определению: $$\varphi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_\text{н}},\quad \varphi_2 = \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}},\quad \varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{н}},$$ то есть: $$\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2 = \varphi (V_1 + V_2).$$

Отсюда: $$\varphi_2 = \varphi + \frac{V_1}{V_2}(\varphi - \varphi_1) = 0.4 + \frac{0.4 - 0.5}{2.5} = 0.36 = 36\%.$$

Ответ: $\varphi_2 = 36\%.$