МКТ, механическое равновесие

Для решения задачи заметим, что воздух представляет из себя смесь водяных паров и сухого воздуха, так же при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=10^5$ Па.
Далее применим закон Дальтона, согласно которому давление воздуха равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $p_0$ и водяного пара $p_\text{п}=\varphi p_\text{н.п.}$:
$$p_1=p_0+\varphi p_\text{н.п.}\Rightarrow p_0=p_1-\varphi p_\text{н.п.}$$ Далее применим закон Бойля — Мариотта для сухого воздуха, согласно которому при уменьшении объёма в $k$ раз,давление воздуха увеличивается в $k$ раз. В свою очередь давление водяного пара при уменьшении объема сначала увеличивается до тех пор, пока не достигнет давления насыщенных паров, после чего его парциальное давление будет оставаться постоянным. Таким образом давление в конечном состоянии:
$$3p_1=kp_0+p_\text{н.п.}\Rightarrow k=\frac{3p_1-p_\text{н.п.}}{p_0}=\frac{3p_1-p_\text{н.п.}}{p_1-\varphi p_\text{н.п.}}=\frac{3\cdot1.6\cdot10^5-10^5}{1.6\cdot10^5-0.6\cdot10^5}=3.8$$

Ответ: $k = 3.8$

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку и груз $F_\text{т.груз.}=(m+M)g$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=mg+Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq mg+Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq m+M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ Тогда теперь запишем его для воздуха снаружи шара и внутри него:
$$p=\frac{\rho_0}{\mu}RT_0 \quad\quad p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ $$\Downarrow$$ $$\rho=\frac{T_0}{T}\rho_0$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\rho_0V\geq m+M+\frac{T_0}{T}\rho_0 V$$ Откуда можем выразить искомый минимальный объём шара:
$$V = \frac{(m + M) T}{\rho_0 (T - T_0)} = \frac{(400 + 200) \cdot 348}{1.2 \cdot (348 - 273)} \approx 2320~\text{м}^3.$$

Ответ: $V \approx 2320~\text{м}^3.$

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку $F_\text{т.об.}=Mg$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT\Rightarrow \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Тогда теперь запишем выражение для плотности воздуха снаружи шара и внутри него:
$$\rho_0=\frac{p\mu}{RT_0} \quad\quad \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\frac{p\mu V}{RT_0}\geq M+\frac{p\mu V}{RT}$$ Откуда можем выразить искомую массу оболочки:
$$M=\frac{p\mu V(T-T_0)}{RTT_0} = \frac{10^5\cdot230\cdot29\cdot10^{-3}\cdot265}{8.31\cdot273\cdot538} \approx 145~\text{кг}.$$ Ответ: $M \approx 145~\text{кг}.$

Для решения задачи заметим, что сосуд по условию теплоизолирован, а значит можем применить закон сохранения энергии $U=U_1+U_2$, внутренняя энергия гелия в первом сосуде равна $U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1$, внутренняя энергия неона во втором сосуде равна $U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2$, а внутренняя энергия смеси после открытия крана и установления равновесного состояния при температуре $T$ равна $U=\frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, тогда получим: $$U=U_1+U_2\Rightarrow \frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_2 RT_2 \Rightarrow T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрон для каждого газа после установления равновесного состояния, т.е. когда газы займут оба сосуда объемом $2V$:
$$2p_1V=\nu_1RT \quad\quad 2p_2V=\nu_2RT$$ $$\Downarrow$$ $$p_1=\frac{\nu_1RT}{2V} \quad\quad p_2=\frac{\nu_2RT}{2V}$$ Теперь можем применить закон Дальтона, согласно которому давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений $p=p_1+p_2$, тогда получим: $$p=p_1+p_2=\frac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2V}=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2V}=\frac{(1\cdot450+3\cdot300)\cdot 8.31}{2\cdot1}=5609.25\,\text{Па}$$

Ответ: $p = 5609.25\,\text{Па}$

Для решения задачи заметим, что сосуд по условию теплоизолирован, а значит можем применить закон сохранения энергии $U=U_1+U_2$, внутренняя энергия гелия в первом сосуде равна $U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1$, внутренняя энергия аргона во втором сосуде равна $U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2$, а внутренняя энергия смеси после открытия крана и установления равновесного состояния при температуре $T$ равна $U=\frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, тогда получим: $$U=U_1+U_2\Rightarrow \frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_2 RT_2 \Rightarrow T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрон для каждого газа после установления равновесного состояния, т.е. когда газы займут оба сосуда объемом $2V$:
$$2p_1V=\nu_1RT \quad\quad 2p_2V=\nu_2RT$$ $$\Downarrow$$ $$p_1=\frac{\nu_1RT}{2V} \quad\quad p_2=\frac{\nu_2RT}{2V}$$ Теперь можем применить закон Дальтона, согласно которому давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений $p=p_1+p_2$, тогда получим: $$p=p_1+p_2=\frac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2V}=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2V}\Rightarrow V=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2p}=\frac{(2\cdot400+3\cdot300)\cdot 8.31}{2\cdot5.4\cdot10^3}\approx1.3\,\text{м}^3$$

Ответ: $p \approx1.3\,\text{м}^3$