МКТ, механическое равновесие

1. Относительная влажность воздуха определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_\text{п}$ к давлению насыщенного пара $p_\text{нас}$ при той же температуре: $$\varphi = \frac{p_\text{п}}{p_\text{нас}}$$

2. Изначально давление под невесомым поршнем равно атмосферному давлению $p_0$.

3. Когда масса поршня с песком становится равной $m$, давление под поршнем равно $p_0 + \frac{mg}{S}$, а относительная влажность достигает 100%.

4. Так как температура не меняется, по закону Бойля-Мариотта: $$p_0 V_1 = \left(p_0 + \frac{mg}{S}\right)V_2 \quad \text{— для влажного воздуха,}$$ $$p_\text{п} V_1 = p_\text{нас} V_2 \quad \text{— для водяного пара,}$$ где $V_1$ и $V_2$ — исходный и конечный объёмы.

5. Из закона Бойля-Мариотта и соотношения $p_\text{п} = \varphi p_\text{нас}$, а также $\dfrac{V_1}{V_2} = 1 + \dfrac{mg}{p_0 S} = \dfrac{1}{\varphi}$, находим $$m = \frac{S p_0 (1-\varphi)}{\varphi g}$$

Ответ: $m = \frac{S p_0 (1-\varphi)}{\varphi g}$.

1. Относительная влажность воздуха определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_\text{п}$ к давлению насыщенных паров $p_\text{нас}$ при той же температуре: $$\varphi = \frac{p_\text{п}}{p_\text{нас}}$$

2. Изначально давление под невесомым поршнем в сосуде равно атмосферному $p_0$.

3. Когда масса песка с поршнем становится $m$, давление под поршнем становится $p_0 + \frac{mg}{S}$ и влажность воздуха достигает $100\%$.

4. Температура в процессе постоянна, значит по закону Бойля-Мариотта для влажного воздуха: $$p_0 V_1 = \left( p_0 + \frac{mg}{S} \right) V_2$$ а для водяного пара: $$p_\text{п} V_1 = p_\text{нас} V_2$$ где $V_1$ и $V_2$ — исходный и конечный объёмы газа.

5. Поделим уравнения и учтём $p_\text{п} = \varphi p_\text{нас}$: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_0 + \frac{mg}{S}}{p_0} = 1 + \frac{mg}{p_0 S} = \frac{1}{\varphi}$$ $$\varphi = \frac{S p_0}{mg + S p_0}$$ Ответ: $\varphi = \frac{S p_0}{mg + S p_0}$.

Для решения задачи заметим, что в ходе опыта температура не менялась, а значит давление насыщенных паров $p_\text{н.п.}$ не изменилось. Парциальное давление можно найти из относительной влажности воздуха $\varphi=\frac{p}{p_\text{н.п.}}\Rightarrow p=\varphi p_\text{н.п.}$.
Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона, откуда выразим количество вещества в первом и во втором сосуде и количество вещества в сосуде без перегородки: $$pV=\nu RT\Rightarrow \nu=\frac{pV}{RT}=\frac{\varphi p_\text{н.п.}V}{RT}$$ $$\Downarrow$$ $$\nu_1=\frac{\varphi_1 p_\text{н.п.}V_1}{RT} \quad\quad \nu_2=\frac{\varphi_2 p_\text{н.п.}V_2}{RT} \quad\quad \nu=\frac{\varphi p_\text{н.п.}(V_1+V_2)}{RT}$$ И так как сосуд герметичен, то справедливо соотношение $\nu=\nu_1+\nu_2$, таким образом получим:
$$\varphi_1V_1+\varphi_2V_2=\varphi (V_1+V_2)$$ Откуда найдём искомое отношение объёмов:
$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\varphi_2-\varphi_1}{\varphi-\varphi_1}=\frac{70-65}{65-60}=1$$

Ответ: $\frac{V_1}{V_2}=1$

Для начала заметим, что воздух представляет из себя смесь водяных паров и сухого воздуха, так же при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=10^5$ Па.
Далее по закону Дальтона первоначальное давление газа в сосуде равнялось $p_1=p_\text{п.1}+p_\text{с.1}$, где $p_\text{п.1}$ – начальное давление водяных паров в воздухе, $p_\text{с.1}$ – начальное давление сухого воздуха. Далее из формулы относительной влажности можем выразить давление водяных паров в начальном состоянии $p_\text{п.1}=\varphi p_\text{н.п.}$. Таким образом давление в начальном состоянии равняется:
$$p_1=\varphi p_\text{н.п.}+p_\text{с.1}$$ Далее рассмотрим второе состояние, так как температура была постоянной, то давление насыщенного пара не меняется, а при уменьшении объема в сосуде в 5 раз парциальное давление водяных паров увеличивалось до тех пор, пока пар не стал насыщенным, тогда во втором состоянии давление водяных паров составит $p_\text{п.2}=p_\text{н.п.}$.
В свою очередь для сухого воздуха применим законы как для идеального газа, т.е. процесс сжатия над сухим паром является изотермическим и справедливо соотношение $p_\text{с.1}V_1=p_\text{с.2}V_2$, где $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объёмы соответственно. И так как объем уменьшили в 5 раз, то давление увеличилось в 5 раз и следовательно $p_\text{с.2}=5p_\text{с.1}$.
Далее по закону Дальтона давление газа в конечном состоянии равняется $p_2=p_\text{п.2}+p_\text{с.2}$, и так как по условию задачи давление в сосуде возросло в 3 раза, то $p_2=3p_1$, таким образом получим уравнение:
$$3p_1=p_\text{н.п.}+5p_\text{с.1}$$ Таким образом мы имеем систему из двух уравнений, откуда выразим искомую относительную влажность воздуха в первом состоянии:
$$\varphi=\frac{2p_1+p_\text{н.п.}}{5p_\text{н.п.}}=\frac{2\cdot1.5\cdot10^5+10^5}{5\cdot10^5}=0.8$$

Ответ: $\varphi = 0.8$

Для решения задачи заметим, что при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=p_0=10^5$ Па.
Рассмотрим первый случай, тогда на невесомый поршень снаружи будет действовать атмосферное давление, а изнутри — смесь водяного пара $p_\text{п}$ и сухого воздуха $p_\text{с1}$ и по закону Дальтона суммарное давление равно $p_1=p_\text{п}+p_\text{с1}$, и так как поршень находится в равновесии, то внутреннее давление равно атмосферному $p_1=p_0$. Так же из формулы относительной влажности воздуха можем найти давление водяного пара, т.е. $p_\text{п}=\varphi p_\text{н.п.}=\varphi p_0$, тогда получаем уравнение:
$$p_0=\varphi p_0+p_\text{с1}\Rightarrow p_\text{с1}=p_0(1-\varphi)$$ Рассмотрим, что будет происходить при насыпании песка на поршень: очевидно, что давление газа будет изменятся. Также, так как на стенках сосуда выпала роса, то значит пар стал насыщенным, тогда так как в конечной точке поршень находится в равновесии, то выполняется условие равновесия:
$$p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}=p_2$$ Где $m_\text{п}$ – масса песка, $S$ – площадь поперечного сечения цилиндра. С другой стороны по закону Дальтона:
$$p_2=p_\text{н.п.}+p_\text{с2}=p_0+p_\text{с2}$$ Далее будем считать, что к сухому воздуху можно применять модель идеального газа, тогда будем считать процесс сжатия газа изотермическим, тогда справедливо соотношение $p_\text{с1}V_1=p_\text{с2}V_2\Rightarrow p_\text{с2}=6p_\text{с1}$ Объединяя все уравнения получим:
$$p_0+6p_\text{с1}=p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}$$ $$\frac{m_\text{п}g}{S}=6p_\text{с1}$$ $$m_\text{п}g=6p_0(1-\varphi)S \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояния: $$\varphi p_0V_1=\frac{m_1}{M}RT \quad\quad p_0V_2=\frac{m_2}{M}RT$$ Где $m_1$ и $m_2$ – массы водяных паров в начальном и конечном состоянии соответственно.Так же можем записать уравнения для объёма $V_1=SH$, $V_2=SH/6$, подставляя эти выражения выразим массы паров:
$$m_1 = \frac{\varphi p_0 SHM}{RT} \quad\quad m_2 = \frac{p_0 SHM}{6RT}$$ Тогда масса сконденсированной в виде росы воды равна:
$$m=m_1-m_2=\frac{\varphi p_0 SHM}{RT} - \frac{p_0 SHM}{6RT} = \frac{p_0 SHM (6\varphi - 1)}{6RT} \tag{2}$$ И объединяя уравнения (1) и (2), находим массу песка:

$$m_\text{п} = \frac{36 m RT (1 - \varphi)}{HMg (6\varphi - 1)} = \frac{36 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot 8{,}31 \cdot 373 \cdot (1 - 0{,}2)} {10 \cdot 18 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot (6 \cdot 0{,}2 - 1)} \approx 248~\text{кг}.$$

Ответ: $\approx 248~\text{кг}.$