МКТ, механическое равновесие

1. Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для водорода и гелия в смеси: $$p_{\mathrm{H}_2}V=\frac{m_{\mathrm{H}_2}}{\mu_{\mathrm{H}_2}}RT;$$ $$p_{\mathrm{He}}V=\frac{m_{\mathrm{He}}}{\mu_{\mathrm{He}}}RT.$$

2. Согласно закону Дальтона давление смеси: $$p=p_{\mathrm{H}_2}+p_{\mathrm{He}}.$$

Кроме того, масса смеси: $$m=m_{\mathrm{H}_2}+m_{\mathrm{He}}.$$

1. Решая систему уравнений, получаем:

$$\frac{m_{\mathrm{H_2}}}{m_{\mathrm{He}}} =\frac{\frac{pV}{RT}-\frac{m}{\mu_{\mathrm{He}}}}{\frac{m}{\mu_{H_2}}-\frac{pV}{RT}} =\frac{\dfrac{200\cdot10^{3}\cdot10^{-2}}{8{,}31\cdot300}-\dfrac{2\cdot10^{-3}}{4\cdot10^{-3}}} {\dfrac{2\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-3}}-\dfrac{200\cdot10^{3}\cdot10^{-2}}{8{,}31\cdot300}} \approx 1{,}5.$$ Ответ: 1,5.

Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева $pV=\frac{m}{M}RT$, масса воздуха в комнате равна

$$m_1=\frac{\mu pV}{RT_1},$$ где

$$V=Sh=50\ \text{м}^3,\quad T_1=273+18=291\ \text{K}.$$

При нагреве воздуха в комнате значение $p$ остается постоянным, так что с ростом температуры масса воздуха уменьшается

$$m_2=\frac{\mu pV}{RT_2},$$ где

$$T_2=T_1+\Delta T=295\ \text{K}.$$

Изменение массы равно:

$$\Delta m=m_1-m_2=\frac{\mu pV}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) =0{,}029\cdot 10^5\cdot 50\left(\frac{1}{291}-\frac{1}{295}\right)\frac{1}{8{,}31} \approx 0{,}813\ \text{кг}\approx 813\ \text{г}.$$

Ответ: масса воздуха в комнате уменьшится на 813 г.

1. Вначале на поршень действовали: сила давления газа в верхней части цилиндра $F_1=p_1S$, направленная вниз; сила давления газа в нижней части цилиндра $F_2=p_2S$, направленная вверх; сила тяжести поршня $mg$, направленная вниз. Поскольку поршень находился в равновесии, то $$F_2=F_1+mg.$$ Учитывая, что объем газа в верхней части больше, чем объем газа в нижней части, $$V_{\text{верх}}=\frac{V}{3},\qquad V_{\text{низ}}=\frac{2V}{3},$$ и по уравнению Клапейрона–Менделеева выразим давления каждой части газа: $$p_1=\frac{3vRT}{2V},\qquad p_2=\frac{3vRT}{V},$$ где $V$ — объем всего сосуда. Тогда сила тяжести, действующая на поршень, равна $$mg=\frac{3vRTS}{2V}.$$
2. Когда из нижней части цилиндра удалили часть газа, поршень опускался до тех пор, пока снова не наступило равновесие, то есть: $$mg=\frac{4(v-\Delta v)RTS}{V}-\frac{4vRTS}{3V}.$$
3. Учитывая выведенное в первом пункте, получаем: $$\frac{3vRTS}{2V}-\frac{4vRTS}{3V} =\frac{4(v-\Delta v)RTS}{V} \Rightarrow \Delta v=\frac{7v}{24}\approx 0{,}29\ \text{моль}.$$

Ответ: $\Delta v=\dfrac{7v}{24}\approx 0{,}29$ моль.

За $1{,}5$ часа работы увлажнителя испарится $V_B = 0{,}2\cdot 1{,}5 = 0{,}3$ л воды, то есть $m = \rho V_B = 1000\cdot 0{,}3\cdot 10^{-3}$ кг воды. Объем воздуха $V = 4\cdot 5\cdot 3 = 60$ м$^3$.

Из уравнения Клапейрона — Менделеева $pV = \dfrac{mRT}{M}$ находим изменение парциального давления этих водных паров: $$\Delta p = \frac{mRT}{MV} = \frac{0{,}3\cdot 8{,}31\cdot 283}{0{,}018\cdot 60} \approx 650 \text{ Па}.$$

А значит, относительная влажность в комнате увеличится на $$\Delta \varphi = \frac{\Delta p}{p_{н}} \cdot 100\% = \frac{650}{1230}\cdot 100\% \approx 53\%.$$

Таким образом, относительная влажность воздуха равна $$\varphi_2 = \varphi_1 + \Delta \varphi = 30\% + 53\% = 83\%.$$

Ответ: $83\%$.