Кредиты, аннуитетный платеж

$S$ - сумма, взятая в кредит (в рублях)

$r=31$ (увеличение долга в $\%$)

$x=69690821$ руб. (выплаченная часть долга)

$n=3$

$n$ - количество лет

Начисление процентов в $1$ год:

$$S\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа в $1$ год:

$$S\cdot 1,31-69690821$$

Начисление процентов во $2$ год:

$$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа во $2$ год:

$$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$$

Начисление процентов в $3$ год:

$$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа в $3$ год:

$$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$$

Составим математическую модель: $$\begin{aligned} ((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3-69690821\cdot 1,31^2-69690821\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3=69690821\cdot (1,31^2+1,31+1)\\ S=69690821\cdot\frac{1,31^2+1,31+1}{1,31^3}\\ S=69690821\cdot\frac{4,0261}{2,248091}\\ S=124809100~руб \end{aligned}$$ Значит, $124809100$ руб. было взято в банке.

Ответ: 124809100

$S$ - сумма, взятая в кредит

$r\%$ (увеличение долга в $\%$)

Увеличение долга:

$$1+\frac{r}{100}$$

$n$ - количество лет

Если $n=4$, то $x_1=776600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=2$, то $x_2=1317600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=4$

Начисление $\%$ в $1$ год:

$$S\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата первого платежа:

$$S\cdot (1+\frac{r}{100})-x$$

Начисление $\%$ во $2$ год:

$$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата второго платежа:

$$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$$

Начисление $\%$ в $3$ год:

$$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата четвертого платежа:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$$

Начисление $\%$ в $4$ год:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Составим математическую модель.

Пусть:

$$(1+\frac{r}{100})=k$$

Если $n=4$:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})=0\\ (((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0$$

Если $n=2$:

$$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2=0\\ (Sk-x_2)k-x_2=0\\ Sk^2-x_2k-x_2=0$$

$$(((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ ((Sk^2-x_1k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ (Sk^3-x_1k^2-x_1k-x_1)k-x_1=0\\ Sk^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ Sk^4=x_1(k^3+k^2+k+1)$$ $$Sk^2-x_2k-x_2=0\\ S=\frac{x_2+x_2k}{k^2}$$ Сумма геометрической прогрессии:

$$k^3+k^2+k+1\\ Sk^4=x_1\frac{k^4-1}{k}-1$$

Но так как:

$$S=\frac{x_2+x_2k}{k_2}$$

Значит:

$$(\frac{x_2+x_2k}{k^2})\cdot k^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^2x_2+x_2k^3-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^3(x_2-x_1)+k^2(x_2-x_1)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)(k^3+k^2)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)k^2(k+1)-x_1(k+1)=0$$

$$((x_2-x_1)k^2-x_1)(k+1)=0$$

сократим на $(k+1)$, так как $k>0$

$$(x_2-x_1)k^2-x_1=0\\ k^2=\frac{x_1}{x_2-x_1}$$

Тогда:

$$k^2=\frac{777600}{1317600-777600}=\frac{777600}{540000}=\frac{7776}{5400}=1,44$$

Значит: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,2\\ \frac{r}{100}=0,2\\ r=20 \end{aligned}$$ Ответ: 20

Так как у $2017$, $2018$ и $2019$ годов долг остается равным $6,6$ млн. руб, то получается, что три года платим только проценты:

$3$ раза платим по $6,6\cdot\dfrac{r}{100}$

Пусть $1 + \dfrac{r}{100} = k$

$X$ - выплата в $2020$ и $2021$

$$\displaystyle$$\begin{cases} \left( 6, ! 6k -X \right)k -X=0\ ( 1)\ 12, ! 6=X+X+3\cdot 6, ! 6\cdot \left( k - 1 \right) \ ( 2) \end{cases}$$\\ (2): 32, \! 4 = 2X + 19, \! 8k \\ X = 16, \! 2 - 9, \! 9k$$ Подставим (2) в (1) и получим: $$(6, \! 6k - 16, \! 2 + 9, \! 9k)k - 16, \! 2 + 9, \! 9k = 0 \\ 16, \! 5k^2 - 16, \! 2 k - 16, \! 2 + 9, \! 9k = 0 \\ 165k^2 - 63k - 162 = 0 \\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} k= 1, \! 2 \\ k=-0, \! 81 \end{array} \right. \Rightarrow k= 1, \! 2 \Rightarrow r = 120 - 100 = 20$$

Ответ: 20

Пусть $S$ – сумма, которую изначально взяли в кредит, $x$ – сумма ежегодной выплаты, $(1+0,25) = 1,25$ – коэффициент ежегодного увеличения долга. Составим таблицу движения денежных средств:

По условию кредит планируется выплатить за 3 года, значит:

$$((S\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x=0$$

Общая сумма выплат составит $3\cdot x$, что по условию на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит ($S$), то есть:

$$3x-S=65500$$

Для нахождения суммы кредита $S$ решим систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{l} ((S\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x=0\\[1.2em] 3x=S+65500 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(\left(S\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{5}{4}x-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{9}{4}x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{45}{16}x-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244\cdot\dfrac{S+65500}{3}\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 375S-244S=244\cdot 65500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 131S=244\cdot 131\cdot 500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=122000\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right.$$

Таким образом, сумма планируемого кредита $S$ составит 122 000 рублей.

Ответ: 122000.

Пусть $S$ — первоначальный взнос в млн. руб.

Вариант 1: ставки 10%, 15%, 20%

Итоговая сумма в конце 2030 года: $$A_1 = \Bigl((1.1S + 1)\cdot 1.15 + 1\Bigr)\cdot 1.2.= \bigl(1.265S + 1.15 + 1\bigr) \cdot 1.2 = (1.265S + 2.15) \cdot 1.2 = 1.518S + 2.58.$$

Вариант 2: ставки 20%, 15%, 10%

Итоговая сумма в конце 2030 года: $$A_2 = \Bigl((1.2S + 1)\cdot 1.15 + 1\Bigr)\cdot 1.1.= \bigl(1.38S + 1.15 + 1\bigr) \cdot 1.1 = (1.38S + 2.15) \cdot 1.1 = 1.518S + 2.365.$$

Сравним итоговые суммы

$$A_1 = 1.518S + 2.58,\quad A_2 = 1.518S + 2.365.$$ Так как $2.58 > 2.365$, то $A_1 > A_2$ при любом $S$. Следовательно, Михаил выберет первый вариант

По условию итоговая сумма должна быть не менее $11.5$ млн рублей: $$1.518S + 2.58 \geq 11.5.$$ $$1.518S \geq 8.92.$$ $$S \geq \frac{8920}{1518}$$ $$S \geq 5\frac{1330}{1518}$$ Так как $S$ — целое число миллионов рублей, наименьшее возможное $S = 6$.

Ответ: 6