Кредиты, аннуитетный платеж

Пусть $S$ — первоначальный взнос в млн. руб.

Вариант 1: ставки 10%, 10%, 20%, 20%

Итоговая сумма в конце 2031 года: $$A_1 = (1.452S + 3.52) \cdot 1.2 = 1.7424S + 4.224.$$

Вариант 2: ставки 20%, 20%, 10%, 10%

Итоговая сумма в конце 2031 года: $$A_2 = (1.584S + 3.42) \cdot 1.1 = 1.7424S + 3.762.$$

Сравним итоговые суммы

$$A_1 = 1.7424S + 4.224,\quad A_2 = 1.7424S + 3.762.$$ Так как $4.224 > 3.762$, то $A_1 > A_2$ при любом $S$. Следовательно, Елена выберет первый вариант.

По условию итоговая сумма должна быть не менее $11$ млн рублей: $$1.7424S + 4.224 \geq 11.$$ $$1.7424S \geq 6.776.$$ $$S \geq \frac{67760}{17424}$$ $$S \geq 3\frac{15488}{17424}$$ Так как $S$ — целое число миллионов рублей, наименьшее возможное $S = 4$.

Ответ: 4

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 312\,500$ рублей.
$r=25\%$ значит $k=1.25$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0:

$$1.25^4S - (1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)x = 0$$ $$1.25=\frac{5}{4}$$ $$S = \frac{\frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1}{\frac{625}{256}} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрческую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = \frac{5}{4}$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + \frac{5}{4} + \frac{25}{16} + \frac{125}{64} = \frac{\frac{625}{256} - 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{ - 1}{\frac{1}{4}} = 4( \frac{625}{256}- 1)$$ $$S = \frac{4(\frac{625}{256} - 1)}{\frac{625}{256}} \cdot x = 4\left(1 - \frac{1}{\frac{625}{256}}\right) \cdot x$$

Подставим $x = 312\,500$: $$S = 4\left(1 - \frac{256}{625}\right) \cdot 312\,500 = 4 \cdot \frac{369}{625} \cdot 3\,125$$ $$S = 4 \cdot 369\cdot 5 = 738\,000$$

Ответ: 738,000

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 324\,000$ рублей.
$r=20\%$ значит $k=1.2$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0: $$1.2^4S - (1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1)x = 0$$ $$S = \frac{1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1}{1.2^4} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрическую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = 1.2$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + 1.2 + 1.2^2 + 1.2^3 = \frac{1.2^4 - 1}{1.2 - 1} = \frac{1.2^4 - 1}{0.2} = 5(1.2^4 - 1)$$ $$1.2^4 = \left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{1296}{625}$$ $$S = 5\left(1 - \frac{625}{1296}\right) \cdot x = 5 \cdot \frac{1296 - 625}{1296} \cdot x = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot x$$ Подставим $x = 324\,000$: $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000 = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000$$ $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot \frac{1296}{4} \cdot 1000 = 5 \cdot 671 \cdot 250= 838\,750$$

Ответ: 838,750

Пусть $S = 1200$ тыс. руб. — первоначальная сумма кредита.

$r =1+ 0.1=1.1$ — коэффициент увеличения долга в январе.

$x$ — размер выплаты в 2028 и 2029 годах (тыс. руб.).

$y = 673{,}2$ — выплата в 2030 году (тыс. руб.).

По условию, после выплаты в 2030 году долг равен нулю: $$(((Sr-x)r-x) \cdot r-y=0$$ Подставляем значения переменных: $$1.331\cdot1200-2.31x-673.2$$ $$2.31x=1597.2-673.2$$ $$x=400$$

Ответ: 400 тыс. руб.

Пусть $S = 600$ тыс. руб. — первоначальная сумма кредита.

$r = 1 + 0.1 = 1.1$ — коэффициент увеличения долга в январе.

$x$ — размер выплаты в 2028 и 2029 годах (тыс. руб.).

$y$ — выплата в 2030 году (тыс. руб.).

Общая сумма выплат: $$2x + y = 733.5.$$ $$y=733.5-2x$$

После выплаты в 2030 году долг равен нулю: $$((Sr - x)r - x) \cdot r - y = 0.$$

Подставляем переменные: $$((600 \cdot 1.1 - x) \cdot 1.1 - x) \cdot 1.1 = y.$$ Упрощаем: $$((660 - x) \cdot 1.1 - x) \cdot 1.1 = y,$$ $$(726 - 1.1x - x) \cdot 1.1 = y,$$ $$(726 - 2.1x) \cdot 1.1 = y,$$ $$798.6 - 2.31x = y.$$

Теперь используем уравнение общей суммы выплат: $$2x + (798.6 - 2.31x) = 733.5,$$ $$798.6 - 0.31x = 733.5,$$ $$0.31x = 65.1,$$ $$x = 210.$$

Ответ: 210 тыс. руб.