Кредиты, аннуитетный платеж

Пусть сумма кредита $S=3,3$ млн. руб., а платежи в $2030$ и $2031$ равны $x$ млн. руб. (последний платеж). Так как по условию в $2027$, $2028$ и $2029$ годах долг остается равен $S$, то первые три платежа будут равны $0,2\cdot S=0,2\cdot 3,3~млн.~руб. =0,66 ~млн.~ руб.$ (выплачиваются только проценты по долгу).

В $2030$ году имеем: $1,2\cdot S-x$

Соответственно в $2031$ году: $1,2( 1,2\cdot S-x) -x$

В $2031$ году данный долг должен быть выплачен полностью, следовательно:

$$1,2( 1,2\cdot S-x) -x=0\\ 1,44S-1,2x-x=0\\ 1,44S=2,2x\\ x=\frac{1,44S}{2,2} =\frac{1,44\cdot 3,3\ млн\ руб}{2,2} =\ 2,16\ млн\ руб.$$

Найдем разницу между первым и последним платежами:

$$2,16-0,66=1,5\ млн\ руб.$$

Ответ: 1,5

$S$ - сумма долга (в руб.)

Долг увеличивается на $30\%$

$X$ - ежегодный платеж

Первое увеличение долга на $30\%$ и внесен первый платеж:

$$S\cdot 1,3-x$$

Второе увеличение долга на $30\%$ и внесен второй платеж:

$$(S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$$

Третье увеличение долга на $30\%$ и внесен третий платеж:

$$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$$

Общая сумма выплат:

$$S+78030$$

Составим математическую модель для суммы долга

$$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x=0\\ (S\cdot 1,3\cdot 1,3-x\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-х=0$$ $$3x=S+78030\\ x=\frac{S+78030}{3}$$ $$S\cdot 1,3^3-1,3^2x-1,3x-x=0\\ S\cdot 1,3^3=x(1,3^2+1,3+1)\\ (1,3^2+1,3+1)-геометрическая~прогрессия\\ S\cdot 1,3^3=x\frac{1,33-1}{1,3-1}$$

Но $x=\frac{S+78030}{3}$

Значит: $$\begin{aligned} S\cdot 1,3^3=\frac{S+78030}{3}\cdot \frac{1\cdot 1,3^3-1}{1,3-1}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=\frac{(S+78030)\cdot 11,97}{9}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=(S+78030)\cdot 1,3^3\\ S\cdot 2197=(S+78030)\cdot 1330\\ S\cdot 2197=S\cdot 1330+78030\cdot 1330\\ 867S=1330\cdot 78030\\ S=119700~рублей \end{aligned}$$ Ответ: 119700.

$S$ - сумма долга

Долг увеличивается на $r\%$

$N$ - выплачиваемый период

Увеличение долга:

$$1+\frac{r}{100}=k$$

$X(Y)$ - выплата, при этом если $x=58564$, то $n=4$

А если $x=106964$, то $n=2$

Составим математические модели

Если $x=58564$ (первое)

$$(((S\left(1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left( 1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left( 1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left(1+\frac{r}{100}\right))-58564=0$$

Если $y=106964$ (второе)

$$(S(1+\frac{r}{100})-106964)(1+\frac{r}{100})-106964=0$$

$$((Sk^2-kx-x)k-x)k-x=0\\ (Sk^3-k^2x-kx-x)k-x=0\\ Sk^4-k^3x-k^2x-xk-x=0$$

$$(Sk-y)k-y=0\\ Sk^2-ky-y=0 \\ Sk^2=ky+y\\ S=\frac{ky+y}{k^2}$$ Тогда при $S=\frac{ky+y}{k^2}$ $$\begin{aligned} \frac{ky+y}{k^2}\cdot k^4-k^3x-k^2x-xk-x=0\\ k^3y+k^2y-k^3x-k^2x-xk-x=0\\ k^2y(k+1)-k^2x(k+1)-x(k+1)=0\\ (k+1)(k^2y-k^2x-x)=0 \end{aligned}$$ Так как $k>0$, то $k^2y-k^2x-x=0$

$$k^2(y-x)-x=0\\ k^2(106964-58564)-58564=0\\ k^2\cdot 48400-58564=0\\ k^2=1,21\\ k=1,1$$

Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,1\\ \frac{r}{100}=0,1\\ r=10 \end{aligned}$$ Ответ: 10

$S$ - долг

$n=5$

$n$ - количество лет

$r=30$

$2027$, $2028$ и $2029$ выплачиваются только начисляемые $\%$

$x=338$ тыс. руб. (платежи, выплачиваемые в $2030$ и $2031$)

$A$ - общая сумма выплат

Составим математическую модель

Начисляемые проценты:

$$S\cdot 0,3\cdot 3$$

$$S\cdot 0,3\cdot 3+338+338=A$$

Размер долга на начало $2030$:

$$1,3S$$

Размер долга после первой выплаты в $338$ тыс. рублей:

$$(1,3S-338)1,3$$

$$(1,3S-338)1,3-338=0\\ 1,3^2S-338\cdot 1,3-338=0\\ 1,69S=2,3\cdot 338\\ S=430 ~тыс. руб.$$

Тогда:

$$A=430\cdot 0,9+2\cdot 338=414+676=1090~тыс. руб.$$

Ответ: 1090

$S$ - долг

$S=220$ тыс. руб.

$n=5$

$n$ - количество лет

$R$ - начисляемые $\%$

$A$ - общая сумма выплат

$A=420$ тыс. руб.

$P$ - размер долга на $2027$, $2028$ и $2029$ (платятся только $\%$)

$P=220$ тыс. руб.

$X$ - выплата в $2030$ и $2031$

Увеличения долга на $r\%$:

$$1+\frac{r}{100}\\ 1+\frac{r}{100}=k,$$

то есть:

$$\frac{r}{100}=k-1\\ A=3\cdot 220\cdot\frac{r}{100}+2x$$

Проценты, начисленные в $2027$, $2028$ и $2029$:

$$220\cdot\frac{r}{100}$$

В эти годы оплатили только $\%$

Составим математическую модель для изменения суммы долга в $2030$ и $2031$ годах

$$(S(1+\frac{r}{100})-x)(1+\frac{r}{100})-x=0\\ (Sk-x)k-x=0\\ Sk^2-xk-x=0\\ Sk^2=x(k+1)\\ 220k^2=x(k+1)$$ $$3\cdot 220\cdot \frac{r}{100}+2x=420\\ 3(k-1)220+2x=420\\ 660k-660+2x=420\\ 660k+2x=1080\\ 2x=1080-660k\\ x=540-330k$$ Тогда: $$\begin{aligned} 220k^2=(540-330k)(k+1)\\ 220k^2=540k-330k^2+540-330k\\ 550k^2-210k-540=0\\ 55k^2-21k-54=0\\ D=441+220\cdot 54=9\cdot 1369\\ k_1=\frac{21+3\cdot 37}{110}=1,2\\ k_2=\frac{21-3\cdot 37}{110}<0, но ~k>0\\ k=1,2 \end{aligned}$$ Значит: $$\begin{aligned} \frac{r}{100}=1,2-1\\ \frac{r}{100}=0,2\\ r=20 \end{aligned}$$ Ответ: 20