Текстовые задачи

Пусть в первый день Вася решил $a_1 = 5$ задач, а в последний день — $a_{14}$ задач. Тогда общее количество задач за $14$ дней равно сумме арифметической прогрессии:

$$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 434$$ Подставим известные значения: $$\frac{5 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 434 \Leftrightarrow 5 + a_{14} = 62 \Leftrightarrow a_{14} = 57$$

Пусть в первый день турист прошел $a_1 = 10$ км, а ежедневное увеличение расстояния равно $d$ км. Тогда расстояние за третий день: $$a_3 = a_1 + 2d$$ Общий путь за $6$ дней равен сумме арифметической прогрессии: $$S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6 = 120 \Leftrightarrow a_1 + a_6 = 40$$ Так как $a_6 = a_1 + 5d$, то: $$10 + 10 + 5d = 40 \Leftrightarrow 5d = 20 \Leftrightarrow d = 4$$ Теперь найдём расстояние за третий день: $$a_3 = 10 + 2 \cdot 4 = 18$$

Пусть в первый день грузовик перевез $a_1 = 2$ тонны, а ежедневное увеличение нормы перевозки равно $d$ тонн. Тогда количество щебня за девятый день:

$$a_9 = a_1 + 8d$$

Общее количество щебня за $14$ дней равно сумме арифметической прогрессии:

$$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 210 \Leftrightarrow a_1 + a_{14} = 30$$

Так как $a_{14} = a_1 + 13d$, то:

$$2 + 2 + 13d = 30 \Leftrightarrow 13d = 26 \Leftrightarrow d = 2$$

Теперь найдём количество щебня за девятый день:

$$a_9 = 2 + 8 \cdot 2 = 18$$

Пусть улитка ползла $n$ дней, в первый день проползла $a_1$ метров, а в последний день — $a_n$ метров. По условию:

$$a_1 + a_n = 10$$

Общий путь равен сумме арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 150 \Leftrightarrow 5n = 150 \Leftrightarrow n = 30$$

Пусть в первый день Вера подписала $a_1 = 10$ открыток, а ежедневное увеличение количества подписанных открыток равно $d$. Тогда количество открыток за четвертый день:

$$a_4 = a_1 + 3d$$ Общее количество открыток за $16$ дней равно сумме арифметической прогрессии: $$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = 640 \Leftrightarrow a_1 + a_{16} = 80$$ Так как $a_{16} = a_1 + 15d$, то: $$10 + 10 + 15d = 80 \Leftrightarrow 15d = 60 \Leftrightarrow d = 4$$ Теперь найдём количество открыток за четвертый день: $$a_4 = 10 + 3 \cdot 4 = 22$$