Неравенства

ОДЗ:

$$x \ne 0,\quad x \ne 1$$

Решение:

Умножим обе части на $x(x - 1)$:

$$2(x - 1) + 3x = 5$$

$$2x - 2 + 3x = 5$$

$$5x - 2 = 5$$

$$5x = 7$$

$$x = \frac{7}{5}$$

Проверка: $\frac{7}{5} \ne 0$ и $\frac{7}{5} \ne 1$, значит корень подходит.

Ответ:

$$x = 1 \frac{2}{5}$$

ОДЗ:

$$x \ne 1,\quad x \ne -1$$

Решение:

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3}{2}$$

$$\frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{3}{2}$$

Перемножим крест-накрест:

$$4x = 3(x^2 - 1)$$

$$4x = 3x^2 - 3$$

$$3x^2 - 4x - 3 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$$

Оба значения не равны $1$ и $-1$.

Ответ:

$$x = \frac{2 + \sqrt{13}}{3}, \qquad x = \frac{2 - \sqrt{13}}{3}$$

ОДЗ:

$$x \ne 1,\quad x \ne -3$$

Решение:

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(x+3)^2-(x-1)^2}{(x-1)(x+3)}=3$$

Раскроем скобки:

$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$

$$(x-1)^2=x^2-2x+1$$

Тогда:

$$(x+3)^2-(x-1)^2=8x+8$$

Получаем:

$$\frac{8x+8}{(x-1)(x+3)}=3$$

Умножим на $(x-1)(x+3)$:

$$8x+8=3(x-1)(x+3)$$

$$8x+8=3(x^2+2x-3)$$

$$8x+8=3x^2+6x-9$$

$$3x^2-2x-17=0$$

Дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-17)=4+204=208$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{208}}{6}=\frac{2\pm4\sqrt{13}}{6}=\frac{1\pm2\sqrt{13}}{3}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$$x=\frac{1+2\sqrt{13}}{3},\qquad x=\frac{1-2\sqrt{13}}{3}$$

ОДЗ:

$$x \ne 0,\quad x \ne 1,\quad x \ne 2,\quad x \ne 3$$

Решение:

Сначала приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x}$$

Раскроем скобки:

$$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$$

$$(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$$

$$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$

Складываем:

$$x^2-5x+6+x^2-4x+3+x^2-3x+2=3x^2-12x+11$$

Получаем:

$$\frac{3x^2-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x}$$

Перемножим крест-накрест:

$$x(3x^2-12x+11)=3(x-1)(x-2)(x-3)$$

Сначала раскроем:

$$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$

$$(x^2-3x+2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$$

Тогда:

$$3x^3-12x^2+11x=3x^3-18x^2+33x-18$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$6x^2-22x+18=0$$

Разделим на 2:

$$3x^2-11x+9=0$$

Дискриминант:

$$D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 9=121-108=13$$

$$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$$

Оба корня не нарушают ОДЗ.

Ответ:

$$x=\frac{11+\sqrt{13}}{6},\qquad x=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$$

Проверим $x + 4 = 0$, то есть $x = -4$:

$$(-6)^2 - 5 \cdot (-6) \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 36 \ne 0$$

Значит, делим на $(x + 4)^2$ и вводим замену:

$$t = \frac{x - 2}{x + 4}$$

Тогда:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

$$(t - 2)(t - 3) = 0$$

$$t = 2 \quad \text{или} \quad t = 3$$

$$1. \frac{x - 2}{x + 4} = 2$$

$$x - 2 = 2x + 8$$

$$x = -10$$

$$2. \frac{x - 2}{x + 4} = 3$$

$$x - 2 = 3x + 12$$

$$-14 = 2x$$

$$x = -7$$

Ответ:

$$x = -10,\,-7$$