Неравенства

ОДЗ:

$$x \ne 0,\quad x \ne -2$$

Вводим замену:

$$t = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x + 2}} = \frac{x + 2}{x}$$

Тогда:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

$$(t - 2)(t - 3) = 0$$

$$t = 2 \quad \text{или} \quad t = 3$$

$$1. \frac{x + 2}{x} = 2$$

$$x + 2 = 2x$$

$$x = 2$$

$$2. \frac{x + 2}{x} = 3$$

$$x + 2 = 3x$$

$$x = 1$$

Ответ:

$$x = 1,\,2$$

Проверим $x^2 - 3 = 0$, то есть $x = \pm\sqrt{3}$:

$$(4)^2 - 5 \cdot 4 \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 16 \ne 0$$

Значит, делим на $(x^2 - 3)^2$ и вводим замену:

$$t = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 3}$$

Тогда:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

$$(t - 2)(t - 3) = 0$$

$$t = 2 \quad \text{или} \quad t = 3$$

$$1. \frac{x^2 + 1}{x^2 - 3} = 2$$

$$x^2 + 1 = 2x^2 - 6$$

$$x^2 = 7$$

$$x = \pm\sqrt{7}$$

$$2. \frac{x^2 + 1}{x^2 - 3} = 3$$

$$x^2 + 1 = 3x^2 - 9$$

$$10 = 2x^2$$

$$x^2 = 5$$

$$x = \pm\sqrt{5}$$

Ответ:

$$x = \pm\sqrt{5},\ \pm\sqrt{7}$$

ОДЗ:

$$x \ge 0$$

Решение:

Возведём обе части в квадрат:

$$x=25$$

Ответ:

$$x=25$$

ОДЗ:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, и правая часть тоже должна быть неотрицательной:

$$x+4 \ge 0, \qquad x-2 \ge 0$$

Значит,

$$x \ge 2$$

Решение:

Возведём обе части в квадрат:

$$x+4=(x-2)^2$$

$$x+4=x^2-4x+4$$

$$x^2-5x=0$$

$$x(x-5)=0$$

Получаем:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=5$$

Проверяем по ОДЗ:

• $x=0$ не подходит, так как $0<2$;
• $x=5$ подходит.

Проверка:

$$\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3, \qquad 5-2=3$$

Ответ:

$$x=5$$

ОДЗ:

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$x \ge 0$$

Также:

$$2x+3 \ge 0$$

Это условие уже выполняется при $x \ge 0$.

Решение:

Возводим в квадрат:

$$2x+3=x^2$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$(x-3)(x+1)=0$$

$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-1$$

По ОДЗ подходит только:

$$x=3$$

Проверка:

$$\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$$

Ответ:

$$x=3$$