Финансовая математика

Сумма кредита: $S = 8800$ тыс. руб.

Вариант 1. Пусть $x$ - платёж, тогда:

$$(1.2S - x) \cdot 1.2 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 5760$$ Общая выплата: $2x = 11520$ тыс. руб.
Вариант 2. Пусть $x$ - уменьшение долга, тогда:

$$x = \frac{S}{8} = 1100$$

Сумма выплат= $8x+0.06\cdot((S+(S-x)+\dots+(S-7x))$
Скобка образует арифметическую прогрессию, где $a_1=S;\, d=-x;\,n=8$, тогда её сумма будет равна: $$S_n=\frac{S+S-7x}{2}\cdot8=(2S-7x)\cdot4$$ Т.е. сумма выплат= $8x+0.06\cdot(2S-7x)\cdot4=8800+0.24\cdot9900=11176$ тыс. руб
Сравнение.
Вариант 1: 11520 тыс. руб.
Вариант 2: 11176 тыс. руб.
Разница: $11520 - 11176 = 344$ тыс. руб. = $\mathbf{344000}$ рублей.
Ответ: 344000

Сумма кредита: $S = 2000$ тыс. руб.

В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.

$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июле 2030, 2031, 2022 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 406$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2752$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2752$$

Подставляем $S = 2000$: $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) + 2000 = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \\ (2000 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406\end{cases}$$ $$\begin{cases} 80r - 0.06rx = 752 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$

Разделим: $$\begin{cases} 40r - 0.03rx = 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x - 20r + 376 = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ 3x + 20r = 1970\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376 \quad(*)\end{cases}$$ $$(*)\quad 197r-2r^2=400r-3760$$ $$2r^2+203r-3760=0$$ $$r_1=-\frac{235}{2}\quad<0$$ $$r_2=16$$

Ответ: 16%

Сумма кредита: $S = 1600$ тыс. руб.
В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.
$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июне 2029, 2030, 2031 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 468$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2280$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2280$$

Подставляем $S = 1600$: $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) + 1600 = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \\ (1600 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468\end{cases}$$ $$\begin{cases} 64r - 0.06rx = 680 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Разделим первое уравнение на 2: $$\begin{cases} 32r - 0.03rx = 340 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Выразим $0.03rx$ из первого уравнения: $$0.03rx = 32r - 340$$

Подставим во второе уравнение: $$1600 + 16r - 3x - (32r - 340) = 468$$ $$1940 - 16r - 3x = 468$$ $$-16r - 3x = 468 - 1940$$ $$3x = 1472 - 16r$$ $$x = \frac{1472 - 16r}{3}$$

Теперь подставим $x$ в уравнение $0.03rx = 32r - 340$: $$0.03r \cdot \frac{1472 - 16r}{3} = 32r - 340$$ $$0.01r (1472 - 16r) = 32r - 340$$ $$14.72r - 0.16r^2 = 32r - 340$$ $$-0.16r^2 - 17.28r + 340 = 0$$ $$r^2 + 108r - 2125 = 0$$ $$D = 108^2 + 4 \cdot 2125 = 11664 + 8500 = 20164$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$$ $$r = \frac{-108 \pm 142}{2}$$ $$r_1 = \frac{34}{2} = 17$$ $$r_2 = \frac{-250}{2} = -125 \quad (\text{не подходит, так как } r > 0)$$

Ответ: 17%

Пусть $S = 910$ тыс. руб.
Коэффициент увеличения долга: $k = 1 + \frac{20}{100} = \frac{6}{5}$.
Равные выплаты в 2032, 2033, 2034 годах: $x$.

$$k(k(kS - x) - x) - x = 0$$ $$k^2(kS - x) - kx - x = 0$$ $$k^3S - k^2x - kx - x = 0$$ $$k^3S = x(k^2 + k + 1)$$ $$x = \frac{k^3S}{k^2 + k + 1}$$

Подставляем $k = \frac{6}{5}$, $S = 910$: $$x = \frac{\frac{216}{125} \cdot 910}{\frac{91}{25}} = \frac{216 \cdot 910}{125} \cdot \frac{25}{91}=\frac{216 \cdot 910 \cdot 25}{125 \cdot 91} = \frac{216 \cdot 910}{5 \cdot 91}= \frac{2160}{5} = 432 \text{ тыс. руб.}$$ $$\text{Общая сумма выплат} = 182 + 182 + 432 \cdot 3 = 364 + 1296 = 1660 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 1660

Пусть $S = 1324$ тыс. руб.
Коэффициент увеличения долга: $k = 1 + \frac{10}{100} = \frac{11}{10}$.
Равные выплаты в 2032, 2033, 2034 годах: $x$.

$$k(k(kS - x) - x) - x = 0$$ $$k^2(kS - x) - kx - x = 0$$ $$k^3S - k^2x - kx - x = 0$$ $$k^3S = x(k^2 + k + 1)$$ $$x = \frac{k^3S}{k^2 + k + 1}$$

Подставляем $k = \frac{11}{10}$, $S = 1324$: $$x = \frac{\frac{1331}{1000} \cdot 1324}{\frac{331}{100}} = \frac{1331 \cdot 1324}{10 \cdot 331}= \frac{1331 \cdot 4 \cdot 331}{10 \cdot 331}= \frac{5324}{10} = 532.4 \text{ тыс. руб.}$$ $$\text{Общая сумма выплат} = 3 \cdot 132.4 + 3 \cdot 532.4 = 397.2 + 1597.2 = 1994.4 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 1,994,400