Финансовая математика — задачи ЕГЭ по математике — EXTREMUM

Тип 16 № 15883

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Решение:

Пусть кредит взят на $n$ лет. Сумма кредита $S = 5$ млн рублей.
Каждый год долг уменьшается на одну и ту же величину $\frac{S}{n}$ млн рублей.
Процентная ставка $r = 20\% = 0.2$ .

Составим таблицу по годам:

Общая сумма выплат: $V = \left(\frac{S}{n} + 0,2S\right) + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{n-1}{n}\right) + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{n-2}{n}\right) + \dots + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{1}{n}\right)$

Сгруппируем слагаемые: $V = \underbrace{\frac{S}{n} + \frac{S}{n} + \dots + \frac{S}{n}}_{n \text{ раз}} + 0,2S \left(1 + \frac{n-1}{n} + \frac{n-2}{n} + \dots + \frac{1}{n}\right)$

Сумма всех $\frac{S}{n}$ : $n \cdot \frac{S}{n} = S$
Сумма в скобках: $1 + \frac{n-1}{n} + \frac{n-2}{n} + \dots + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \left(n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1\right)$

В скобках — сумма арифметической прогрессии: $n + (n-1) + \dots + 1 = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Таким образом: $\frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$

Тогда процентная часть выплат: $0,2S \cdot \frac{n+1}{2} = 0,1S(n+1)$

Общая сумма выплат: $V = S + 0,1S(n+1)$

Подставим $S = 5$ , $V = 7,5$ (в млн рублей): $7,5 = 5 + 0,1 \cdot 5 \cdot (n+1)$ $7,5 = 5 + 0,5(n+1)$ $2,5 = 0,5(n+1)$ $5 = n+1$ $n = 4$

Ответ: на 4 года.

Тип 16 № 15998

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году? Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 22.

Тип 16 № 15999

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 23.

Тип 16 № 16000

В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;
в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 24.

Тип 16 № 16001

Дмитрий берёт кредит в августе 2027 года на 8 лет. Условия:

В январе 2028–2031 гг. долг увеличивается на 10%.
В январе 2032–2035 гг. долг увеличивается на 14%.
С февраля по июль каждого года выплачивается часть долга.
В августе каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше, чем в августе предыдущего года.
К августу 2035 года кредит погашен полностью.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на $1700$ тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 25.