Стереометрия

1. Формула площади боковой поверхности конуса: $$S = \pi r l$$ где $r$ - радиус основания, $l$ - образующая.

2. Исходная площадь: $$S_1 = \pi r l$$

3. Новая площадь при увеличении образующей в 3 раза: $$S_2 = \pi r (3l) = 3\pi r l = 3S_1$$

1. Исходная площадь: $$S_1 = \pi r l$$

2. Новая площадь при уменьшении радиуса: $$S_2 = \pi \left(\frac{r}{1.5}\right) l = \frac{S_1}{1.5}$$

3. Коэффициент уменьшения: $$\frac{S_1}{S_2} = 1.5$$

1. Найдём радиус основания цилиндра: $$r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

2. Формула площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$$

3. Выразим высоту из формулы: $$h = \frac{S_{\text{бок}}}{2\pi r}$$

4. Подставим известные значения: $$h = \frac{12\pi}{2\pi \cdot 3} = \frac{12\pi}{6\pi} = 2$$

1. Находим площадь основания призмы: $$S = \frac{V_{\text{воды}}}{h_1} = \frac{2300}{25} = 92\ \text{см}^2$$

2. Вычисляем объём вытесненной воды: $$V_{\text{выт}} = S \cdot \Delta h = 92 \times 2 = 184\ \text{см}^3$$

3. По закону Архимеда: $$V_{\text{дет}} = V_{\text{выт}} = 184\ \text{см}^3$$

1.Формула объёма правильной треугольной призмы: $$V = S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot H$$ где $a$ — сторона основания, $H$ — высота призмы.

2.Объём воды в первом сосуде: $$V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot 80$$

3.При увеличении стороны основания в 4 раза: $$a' = 4a$$ $$S'_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(4a)^2 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

1. Новый уровень воды $h$: $$V = S'_{\text{осн}} \cdot h$$ $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot 80 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot h$$ $$80 = 16h$$ $$h = \frac{80}{16} = 5 \text{ см}$$