Стереометрия

1. По условию образующая конуса $\ell = 2$, угол наклона $\alpha = 30^\circ$.

2. Найдем высоту конуса $h$: $$h = \ell \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

3. Найдем радиус основания $r$ по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{\ell^2 - h^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$

4. Вычислим объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi$$

5. Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 1$$

1. Найдем радиус основания по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{\ell^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

2. Вычислим объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi$$

3. Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 128$$

1. Исходный объем: $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

2. Новый объем при увеличении радиуса: $$V_2 = \frac{1}{3}\pi (1.5r)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2.25r^2 h = 2.25V_1$$

1. Исходный объем: $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

2. Новый объем при уменьшении высоты: $$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 \left(\frac{h}{3}\right) = \frac{1}{3}V_1$$

textbf{Решение:}

1. Находим радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

2. Так как осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник: $$h = r = 3$$

3. Вычисляем объем: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi$$

4. Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 9$$