Показательные неравенства заменой

Упростим числитель и знаменатель: $$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x, \quad 2^{2-x} = \frac{4}{2^x}, \quad 2^{6-x} = \frac{64}{2^x}$$ Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{68}{t}}{t - \frac{64}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 68}{t^2 - 64} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 68 - (t^2 - 64)}{t^2 - 64} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4}{t^2 - 64} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -8) \cup [-2; 2] \cup (8; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 2 \\ &t > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 2 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$t - \frac{600}{t - 1} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 600}{t - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - t - 600}{t - 1} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 25)(t + 24)}{t - 1} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &-24 \leq t < 1 \\ &t \geq 25 \end{aligned}\right.$$ Учитывая, что $t = 5^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 1 \\ &t \geq 25 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x < 1 \\ &5^x \geq 25 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 0 \\ &x \geq 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [2; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$t - \frac{240}{t - 1} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 240}{t - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - t - 240}{t - 1} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 16)(t + 15)}{t - 1} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &-15 \leq t < 1 \\ &t \geq 16 \end{aligned}\right.$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 1 \\ &t \geq 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x < 1 \\ &2^x \geq 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 0 \\ &x \geq 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [4; +\infty)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{6}{t - 125} \leq \frac{1}{t - 25}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{6}{t - 125} - \frac{1}{t - 25} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{6(t - 25) - (t - 125)}{(t - 125)(t - 25)} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{6t - 150 - t + 125}{(t - 125)(t - 25)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{5t - 25}{(t - 125)(t - 25)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{5(t - 5)}{(t - 125)(t - 25)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t \leq 5 \\ &25 < t < 125 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x \leq 5 \\ &25 < 5^x < 125 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &2 < x < 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (2; 3)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{13}{t - 81} \leq \frac{1}{t - 9}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{13}{t - 81} - \frac{1}{t - 9} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{13(t - 9) - (t - 81)}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{13t - 117 - t + 81}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{12t - 36}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{12(t - 3)}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 3] \cup (9; 81)$$ Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 3 \\ &9 < t < 81 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \leq 3 \\ &9 < 3^x < 81 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &2 < x < 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (2; 4)$