Показательные неравенства заменой

Сделаем замену $8^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{\frac{1}{4}t}{\frac{1}{4}t - 1} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{t^2 - 5t + 4} \Leftrightarrow \frac{t}{t - 4} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{(t - 1)(t - 4)}$$ $$\frac{t(t - 1) - 3(t - 4) - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - t - 3t + 12 - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 2)^2}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t > 4 \\ &t = 2 \\ &\begin{cases} t > 0 \\ t < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 4 \\ &8^x = 2 \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 8^{\frac{2}{3}} \\ &8^x = 8^{\frac{1}{3}} \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 8^0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x > \frac{2}{3} \\ &x = \frac{1}{3} \\ &x < 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 8}{t - 8} + \frac{t - 8}{t + 8} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 8)^2 + (t - 8)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 16t + 64 + t^2 - 16t + 64}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 128}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 128 - 16t - 96}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 8t + 16)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 4)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Получаем: $$\left[\begin{aligned} &2^x = 4 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 2 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{2\} \cup (3; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$1 + \frac{11}{t - 8} + \frac{28}{t^2 - 16t + 64} \geq 0$$ Приведём все слагаемые к общему знаменателю: $$\frac{(t - 8)^2 + 11(t - 8) + 28}{(t - 8)^2} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - 16t + 64 + 11t - 88 + 28}{(t - 8)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 5t + 4}{(t - 8)^2} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 1)(t - 4)}{(t - 8)^2} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t \leq 1\\ &\begin{cases} t \geq 4\\ t \neq 8 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 1\\ &\begin{cases} 2^x \geq 4\\ 2^x \neq 8 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 0\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ x \neq 3 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2;3) \cup(3; +\infty)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$(5^3)^x - (5^2)^x + \frac{4\cdot(5^2)^x - 20}{5^x - 5} \leq 4 \Leftrightarrow t^3 - t^2 + \frac{4t^2 - 20}{t - 5} \leq 4$$ $$t^3 - t^2 + \frac{4(t^2 - 5)}{t - 5} - 4 \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(t^3 - t^2)(t - 5) + 4(t^2 - 5) - 4(t - 5)}{(t - 5)} \leq 0$$ Раскроем скобки: $$\frac{t^4 - 5t^3 - t^3 + 5t^2 + 4t^2 - 20 - 4t + 20}{t - 5} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{t^4 - 6t^3 + 9t^2 - 4t}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t^3 - 6t^2 + 9t - 4)}{t - 5} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 1)(t^2 -5t + 4)}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t - 1)^2(t - 4)}{t - 5} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [4; 5)$$ Учитывая, что $t = 5^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &t = 1 \\ &4 \leq t < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x = 1 \\ &4 \leq 5^x < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &\log_5 4 \leq x < 1 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [\log_5 4; 1)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 9)^2 + (t - 9)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 162}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 162 - 12t - 144}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 12t + 18}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 3)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$

Получаем: $$\left[\begin{aligned} &3^x = 3 \\ &3^x > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 1 \\ &x > 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{1\} \cup (2; +\infty)$