Показательные неравенства заменой

Преобразуем числитель и знаменатель: $$\text{Числитель: } 2\cdot3^{2x+1} - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x = 6\cdot9^x - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x$$ $$\text{Знаменатель: } 3\cdot9^x - 2\cdot6^x$$ Имеем: $$\frac{6\cdot9^x - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x}{3\cdot9^x - 2\cdot6^x} \leq 1$$

Разделим числитель и знаменатель на $4^x > 0$ и сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$: $$\frac{6t^2 - 7t + 2}{3t^2 - 2t} \leq 1$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{6t^2 - 7t + 2 - 3t^2 + 2t}{3t^2 - 2t} \leq 0 \Rightarrow \frac{3t^2 - 5t + 2}{t(3t - 2)} \leq 0$$

Разложим числитель: $$\frac{(3t - 2)(t - 1)}{t(3t - 2)} \leq 0$$

Решение: $$0 < t \leq 1, \quad t \neq \frac{2}{3}$$

Возвращаемся к x: $$0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 1 \Leftrightarrow 0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^0\Rightarrow x \leq 0$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x \neq \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq -1$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0]$

Сделаем замену $t = 2^{x^2 + 1}$: $$1 + \frac{21}{t - 16} \leq \frac{1}{t - 4}$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{t - 16 + 21}{t - 16} - \frac{1}{t - 4} \leq 0 \Rightarrow \frac{t + 5}{t - 16} - \frac{1}{t - 4} \leq 0$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(t + 5)(t - 4) - (t - 16)}{(t - 16)(t - 4)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4}{(t - 16)(t - 4)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 16)(t - 4)} \leq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 4 \\ t < 16 \end{cases}\\ &\begin{cases} t \geq -2\\ t \leq 2 \end{cases} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^{x^2 + 1} > 4 \\ 2^{x^2 + 1} < 16 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2^{x^2 + 1} \geq -2\\ 2^{x^2 + 1} \leq 2 \end{cases} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^{x^2 + 1} > 4 \\ 2^{x^2 + 1} < 16 \end{cases}\\ &2^{x^2 + 1} \leq 2 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^{x^2 + 1} > 2^2 \\ 2^{x^2 + 1} < 2^4 \end{cases}\\ &2^{x^2 + 1} \leq 2^1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 3 \end{cases}\\ &x^2 \leq 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 -3 < 0 \end{cases}\\ &x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} (x - 1)(x + 1) > 0 \\ (x - \sqrt3)(x + \sqrt3) < 0 \end{cases}\\ &x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \\ x \in (-\sqrt3; \sqrt3) \end{cases}\\ &x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in (-\sqrt3; -1) \cup (1; \sqrt3)\\ &x = 0 \end{aligned} \right.$$ Объединяя решения, получаем ответ: $x \in (-\sqrt3; -1) \cup \{0\} \cup (1; \sqrt3)$

Ответ: $x \in (-\sqrt3; -1) \cup \{0\} \cup (1; \sqrt3)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$, $t \neq 5$, $t \neq 8$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} + \frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} \leq 5t + 7$$

Выделим целые части:

Первая дробь: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} = t + 7 + \frac{-1}{t - 5}$$ Вторая дробь: $$\frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} = 4t + \frac{4}{t - 8}$$

Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство: $$t + 7 - \frac{1}{t - 5} + 4t + \frac{4}{t - 8} \leq 5t + 7$$ $$5t + 7 - \frac{1}{t - 5} + \frac{4}{t - 8} \leq 5t + 7$$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $$- \frac{1}{t - 5} + \frac{4}{t - 8} \leq 0$$ $$\frac{-(t - 8) + 4(t - 5)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 8 + 4t - 20}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{3t - 12}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{3(t - 4)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 4] \cup (5; 8)$$

Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 4 \\ &5 < t < 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 4 \\ &5 < 2^x < 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 2 \\ &\log_2 5 < x < 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (\log_2 5; 3)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 6$, $t \neq 9$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} + \frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Выделим целые части: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} = t + 3 + \frac{-1}{t - 6}$$ $$\frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} = 9t + \frac{2}{t - 9}$$

Подставим обратно в неравенство: $$t + 3 - \frac{1}{t - 6} + 9t + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$ $$10t + 3 - \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$- \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 0$$ $$\frac{- (t - 9) + 2(t - 6)}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 9 + 2t - 12}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{t - 3}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 3] \cup (6; 9)$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 3 \\ &6 < t < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \leq 3 \\ &6 < 3^x < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &\log_3 6 < x < 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (\log_3 6; 2)$

Сделаем замену $t = 9^x - 2 \cdot 3^x$. Тогда неравенство примет вид: $$t^2 - 62t - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (t - 63)(t + 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \leq -1 \quad \text{или} \quad t \geq 63$$

Сделаем обратную замену: $$\left[\begin{aligned} &9^x - 2 \cdot 3^x \leq -1 \\ &9^x - 2 \cdot 3^x \geq 63 \end{aligned}\right.$$

Рассмотрим первое неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (3^x - 1)^2 \leq 0$$ Так как квадрат выражения всегда неотрицателен, равенство достигается только при: $$3^x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$$

Рассмотрим второе неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x - 63 \geq 0$$ Сделаем замену $a = 3^x > 0$: $$a^2 - 2a - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) \geq 0$$

Учитывая, что $a = 3^x > 0$, получаем: $$a \geq 9 \Leftrightarrow 3^x \geq 9 \Leftrightarrow x \geq 2$$

Объединяя решения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; +\infty)$