Показательные неравенства заменой

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2}{t + 64} \geq \frac{1}{t - 32}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2}{t + 64} - \frac{1}{t - 32} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 32) - (t + 64)}{(t + 64)(t - 32)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t - 64 - t - 64}{(t + 64)(t - 32)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t - 128}{(t + 64)(t - 32)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-64; 32) \cup [128; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 32 \\ &t \geq 128 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x < 32 \\ &2^x \geq 128 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 5 \\ &x \geq 7 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup [7; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{7}{t - 32} \geq \frac{1}{t - 8}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{7}{t - 32} - \frac{1}{t - 8} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{7(t - 8) - (t - 32)}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{7t - 56 - t + 32}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6t - 24}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6(t - 4)}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in [4; 8) \cup (32; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &4 \leq t < 8 \\ &t > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &4 \leq 2^x < 8 \\ &2^x > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2 \leq x < 3 \\ &x > 5 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [2; 3) \cup (5; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 7t - 48}{t - 32} \leq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 7t - 48 - (t - 32)}{t - 32} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 + 6t - 16}{t - 32} \leq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t + 8)(t - 2)}{t - 32} \leq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} & t \leq -8 \\ & 2\leq t < 32 \end{aligned}\right.$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\begin{cases} t \geq 2\\ t < 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2^x \geq 2\\ 2^x < 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1\\ x < 5 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [1; 5)$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2}{3^x + 27} - \frac{1}{3^x - 27} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2(3^x - 27) - (3^x + 27)}{(3^x + 27)(3^x - 27)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{3^x - 81}{9^x - 729} \geq 0$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$: $$\frac{t - 81}{t^2 - 729} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t - 81}{(t - 27)(t + 27)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t \geq 81\\ &\begin{cases} t > -27\\ t < 27 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \geq 3^4\\ &\begin{cases} 3^x > -27\\ 3^x < 3^3 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \geq 4\\ &x < 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup [4; + \infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 - 6t - 20}{t - 32} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 - 6t - 20 - (t - 32)}{t - 32} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 7t + 12}{t - 32} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 3)(t - 4)}{t - 32} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &3 \leq t \leq 4 \\ &t > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3 \leq 2^x \leq 4 \\ &2^x > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2 3 \leq x \leq 2 \\ &x > 5 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [\log_2 3; 2] \cup (5; +\infty)$