Показательные неравенства заменой

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{2^x - 1} + \frac{2\cdot4^{x} - 32\cdot2^{x} + 4}{2^x - 16} \geq 2\cdot2^{x}$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} \geq 2t$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} - 2t \geq 0$$ $$\frac{(t - 16) + (2t^2 - 32t + 4)(t - 1) - 2t(t - 1)(t - 16)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 16 + 2t^3 - 2t^2 - 32t^2 + 32t + 4t - 4 - 2t^3 + 32t^2 + 2t^2 - 32t}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$ $$\frac{5t - 20}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{5(t - 4)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Решение неравенства:

$$t \in (1; 4] \cup (16; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 4 \end{cases}\\ &t > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x > 1\\ 2^x \leq 4 \end{cases}\\ &2^x > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 2 \end{cases}\\ &x > 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 2] \cup (4; +\infty)$

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{3^x - 1} + \frac{3\cdot9^{x} - 27\cdot3^{x} + 3}{3^x - 9} \geq 3\cdot3^{x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} \geq 3t$$ $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} - 3t \geq 0$$ $$\frac{(t - 9) + (3t^2 - 27t + 3)(t - 1) - 3t(t - 1)(t - 9)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 9 + 3t^3 - 3t^2 - 27t^2 + 27t + 3t - 3 - 3t^3 + 27t^2 + 3t^2 - 27t}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$ $$\frac{4t - 12}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4(t - 3)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (1; 3] \cup (9; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 3 \end{cases}\\ &t > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3^x > 1\\ 3^x \leq 3 \end{cases}\\ &3^x > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 1 \end{cases}\\ &x > 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 1] \cup (2; +\infty)$

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{3^x - 1} + \frac{3\cdot9^{x} - 27\cdot3^{x} + 3}{3^x - 9} \geq 3\cdot3^{x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} \geq 3t$$ $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} - 3t \geq 0$$ $$\frac{(t - 9) + (3t^2 - 27t + 3)(t - 1) - 3t(t - 1)(t - 9)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 9 + 3t^3 - 3t^2 - 27t^2 + 27t + 3t - 3 - 3t^3 + 27t^2 + 3t^2 - 27t}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$ $$\frac{4t - 12}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4(t - 3)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (1; 3] \cup (9; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 3 \end{cases}\\ &t > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3^x > 1\\ 3^x \leq 3 \end{cases}\\ &3^x > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 1 \end{cases}\\ &x > 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 1] \cup (2; +\infty)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t}{t - 4} + \frac{t + 5}{t - 5} + \frac{22}{t^2 - 9t + 20} \leq 0$$

Разложим знаменатель последней дроби на множители:

$$t^2 - 9t + 20 = (t - 4)(t - 5)$$

Приведём все дроби к общему знаменателю $(t - 4)(t - 5)$:

$$\frac{t(t - 5) + (t + 5)(t - 4) + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 5t + t^2 - 4t + 5t - 20 + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 2t + 1)}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Решение неравенства:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 4 \\ t < 5 \end{cases} \\ &t = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x > 4 \\ 5^x < 5 \end{cases} \\ &5^x = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > \log_5 4 \\ x < 1 \end{cases} \\ &x = 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (\log_5 4; 1)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t}{t - 4} + \frac{t + 5}{t - 5} + \frac{22}{t^2 - 9t + 20} \leq 0$$

Разложим знаменатель последней дроби на множители:

$$t^2 - 9t + 20 = (t - 4)(t - 5)$$

Приведём все дроби к общему знаменателю $(t - 4)(t - 5)$:

$$\frac{t(t - 5) + (t + 5)(t - 4) + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 5t + t^2 - 4t + 5t - 20 + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 2t + 1)}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Решение неравенства:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 4 \\ t < 5 \end{cases} \\ &t = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x > 4 \\ 5^x < 5 \end{cases} \\ &5^x = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > \log_5 4 \\ x < 1 \end{cases} \\ &x = 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (\log_5 4; 1)$