Показательные неравенства заменой

Сделаем замену $16^x - 2\cdot4^{x + 1} = t$. Имеем: $$t^2 + 23t + 112 \geq 0 \Leftrightarrow(t + 7)(t + 16) \geq 0$$

Откуда:

$$t \leq -16 \text{ или } t \geq -7$$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. $t \leq -16$:

$$(4^x)^2 - 8\cdot4^x \leq -16 \Leftrightarrow (4^x)^2 - 8\cdot4^x + 16 \leq 0 \Leftrightarrow (4^x - 4)^2 \leq 0$$

Это неравенство выполняется только при:

$$4^x = 4 \Leftrightarrow x = 1$$

1. $t \geq -7$:

$$(4^x)^2 - 8\cdot4^x \geq -7 \Leftrightarrow (4^x)^2 - 8\cdot4^x + 7 \geq 0$$

Сделаем замену $4^x = a > 0$:

$$a^2 - 8a + 7 \geq 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 7) \geq 0$$

Решение:

$$a \leq 1 \text{ или } a \geq 7 \Leftrightarrow 4^x \leq 1 \text{ или } 4^x \geq 7 \Leftrightarrow x \leq 0 \text{ или } x \geq \log_4 7$$

Объединим решения:

$$x \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [\log_4 7; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [\log_4 7; +\infty)$

Сделаем замену $7^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t + 7}{t - 7} + \frac{t - 7}{t + 7} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(t + 7)^2 + (t - 7)^2}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{t^2 + 14t + 49 + t^2 - 14t + 49}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 + 98}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\frac{2t^2 + 98 - 4t - 96}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 2t + 1}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)^2}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0$$

Решение неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &t < -7 \\ &t = 1 \\ &t > 7 \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что $t = 7^x > 0$, получаем:

$$\left[\begin{aligned} &7^x = 1 \\ &7^x > 7 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x > 1 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (1; +\infty)$

Преобразуем неравенство:

$$(25^x - 4\cdot5^x)^2 - 2\cdot(25^x - 4\cdot5^x) - 15 < 0$$

Сделаем замену $t = 25^x - 4\cdot5^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$t^2 - 2t - 15 < 0 \Leftrightarrow (t + 3)(t - 5) < 0$$

Решение неравенства: $-3 < t < 5$:

$$\begin{cases} 25^x - 4\cdot5^x > -3 \\ 25^x - 4\cdot5^x < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 25^x - 4\cdot5^x + 3 > 0 \\ 25^x - 4\cdot5^x - 5 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство. Сделаем замену $a = 5^x > 0$:

$$a^2 - 4a + 3 > 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 3) > 0$$

Откуда:

$$a < 1 \text{ или } a > 3 \Leftrightarrow5^x < 1 \text{ или } 5^x > 3 \Leftrightarrow x < 0 \text{ или } x > \log_5 3$$

Решим второе неравенство:

$$a^2 - 4a - 5 < 0 \Leftrightarrow (a + 1)(a - 5) < 0$$

Так как $a = 5^x > 0$, то:

$$a < 5 \Leftrightarrow 5^x < 5 \Leftrightarrow x < 1$$

Объединим решения:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x < 0\\ &x > \log_5 3 \end{aligned}\right.\\ x < 1 \end{cases}$$

Таким образом, решением системы является:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\log_5 3; 1)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_5 3; 1)$

Преобразуем неравенство:

$$(9^x - 3^{x + 1})^2 - 8 \cdot (9^x - 3^{x + 1}) - 20 < 0$$

Сделаем замену $t = 9^x - 3^{x + 1}$. Тогда неравенство примет вид:

$$t^2 - 8t - 20 < 0 \Leftrightarrow (t + 2)(t - 10) < 0$$

Решение неравенства: $-2 < t < 10$:

$$\begin{cases} 9^x - 3^{x + 1} > -2 \\ 9^x - 3^{x + 1} < 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9^x - 3 \cdot 3^x + 2 > 0 \\ 9^x - 3 \cdot 3^x - 10 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство. Сделаем замену $3^x = a > 0$:

$$a^2 - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 2) > 0$$

Откуда:

$$3^x < 1 \text{ или } 3^x > 2 \Leftrightarrow x < 0 \text{ или } x > \log_3 2$$

Решим второе неравенство:

$$a^2 - 3a - 10 < 0 \Leftrightarrow (a + 2)(a - 5) < 0$$

Так как $a = 3^x > 0$, то:

$$a < 5 \Leftrightarrow 3^x < 5 \Leftrightarrow x < \log_3 5$$

Объединим решения:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x < 0\\ &x > \log_3 2 \end{aligned}\right.\\ x < \log_3 5 \end{cases}$$

Таким образом, решением системы является:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$

Сделаем замену $4^{\frac{1}{x} - 1} = t > 0$. Имеем:

$$t^2 - t - 2 \geq 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 1) \geq 0$$

Откуда $t \geq 2$ : $$4^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2 \Leftrightarrow 4^{\frac{1}{x} - 1} \geq 4^\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{x} - 1 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1 - \frac{3}{2}x}{x} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2 - 3x}{x} \geq 0$$

Решение неравенства:

$$0 < x \leq \frac{2}{3}$$

Ответ: $x \in \left(0; \frac{2}{3}\right]$