Показательные уравнения

Преобразуем правую часть к степени с основанием $\frac{1}{2}$: $$4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$ Тогда уравнение перепишется как: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{6 - 2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$ Приравниваем показатели степеней: $$6 - 2x = -2$$ Решаем уравнение: $$6 + 2 = 2x \quad \Rightarrow \quad 8 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

$$5^{7-x} = \frac{1}{125}$$ Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $$5^{7-x} = 5^{-3}$$ Поскольку основания равны, приравняем показатели: $$7 - x = -3$$ $$x = 10$$

Так как $5^{3 + x} > 0$ при любом значении $x$, разделим обе части на этот множитель:

$$(\tfrac{2}{5})^{3 + x} = 0.4 \Leftrightarrow (\tfrac{2}{5})^{3 + x} = (\tfrac{2}{5})^1 \Leftrightarrow 3 + x = 1 \Rightarrow x = -2$$

$$8^{9-x} = 64^x$$ Приведём степени к одному основанию: $$(2^3)^{9-x} = (2^6)^x$$ $$2^{27-3x} = 2^{6x}$$ Поскольку основания равны, приравняем показатели: $$27 - 3x = 6x$$ $$27 = 9x$$ $$x = 3$$

Представим число $36$ как степень числа $6$. $$6^{-6 + x} = 6^2 \Leftrightarrow -6 + x = 2 \Leftrightarrow x = 8$$