Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Используем формулу понижения степени синуса: $$\sin^2\left(\frac{7\pi}{12} + x\right) = \frac{1 - \cos (\frac{7\pi}{6} + 2x)}{2}$$ Упростим уравнение: $$8\left(\frac{1 - \cos (\frac{7\pi}{6} + 2x)}{2}\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow 4 - 4\cos \left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4 - 4\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot\cos 2x - \sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot\sin2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4 +2\sqrt3\cos 2x -2\sin2x - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sin2x = -1 \Leftrightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ & 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \\ & x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$-\frac{41\pi}{12}, -\frac{37\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \pi k, -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{41\pi}{12}, -\frac{37\pi}{12}$

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$ Подставим в уравнение: $$1 - 4 \cdot \frac{1 + \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right)}{2} = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$1 - 2 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$-1 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ Раскроем косинус разности: $$2\left(\cos 2x \cos \frac{5\pi}{6} + \sin 2x \sin \frac{5\pi}{6}\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$-\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$\sin 2x + 1 = 0$$ $$\sin 2x = -1$$ $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{17\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{17\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}$

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$ Подставим в уравнение: $$\sqrt{2} \sin(2x) + 4 \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right)}{2} = 2 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = 2 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = \sqrt{2}$$ Раскроем косинус суммы: $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\left(\cos \frac{3\pi}{4} \cos 2x - \sin \frac{3\pi}{4} \sin 2x\right) = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x\right) = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{2}$$ $$-\sqrt{2} \cos 2x = \sqrt{2}$$ $$\cos 2x = -1$$ $$2x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу понижения степени синуса: $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$ Подставим в уравнение: $$16\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$16 \cdot \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$4 - 8\cos 2x + 4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 2x - 3 = 0$$ $$\cos^2 2x = \frac{3}{4}$$ $$\cos 2x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[0,5\pi; 2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}, \quad \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}, \quad -\frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{7\pi}{12}, \quad -\frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{19\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ Подставим в уравнение: $$4\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$4 \cdot \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$\cos^2 2x + 11\cos 2x = 0$$ $$\cos 2x (\cos 2x + 11) = 0$$ $$\cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x = -11 \notin [-1; 1] \text{ не подходит}$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$