Вписанные окружности

Для трапеции, описанной около окружности, сумма противоположных сторон равна:

$$AB + DC = AD + CB$$

Периметр трапеции: $$P = AB + BC + CD + DA = 2(AB + CD) = 40$$ $$AB + CD = 20$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

1. Для описанной трапеции сумма противоположных сторон равна: $$AB + CD = AD + BC = \frac{P}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

2. По условию большая боковая сторона $BC = 7$, тогда: $$AD = 11 - BC = 11 - 7 = 4$$

3. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: $$r = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны: $$AB + CD = AD + BC$$

Периметр четырёхугольника: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 2(AB + CD)$$ $$P_{ABCD} = 2(22 + 77) = 2 \cdot 99 = 198$$

Для четырёхугольника с вписанной окружностью: $$AB + CD = AD + BC = \frac{P}{2} = \frac{26}{2} = 13$$ $$6 + CD = 13 \Rightarrow CD = 7$$

Отрезки касательных, проведённых из точек $K, L, E, F, H, M$ равны между собой. Поэтому:

$$P_{KLC} = CP + CQ$$ $$P_{AMH} = AP + AR$$ $$P_{FEB} = BQ + BR$$

Запишем сумму периметров этих треугольников:

$$P_{KLC} + P_{AMH} + P_{FEB} = (CP + CQ) + (AP + AR) + (BQ + BR) =$$ $$= (CP + AP) + (CQ + BQ) + (AR + RB) = AC + CB + AB = P_{ABC} = 6 + 8 + 10 = 24$$