Вписанные окружности

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равносторонний, так как он равнобедренный и $\angle AOB = \angle OAB = \angle OBA = 60^\circ$.

Значит:

$$AB = 2AH = 2\cdot\tg AOH \cdot OH \Leftrightarrow OH = \frac{AB}{2\cdot \tg AOH} = \frac{\sqrt3}{2\cdot\tg 30^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{3}} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны: $$AB + CD = AD + BC$$

Периметр четырёхугольника: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 2(AB + CD)$$ $$P_{ABCD} = 2(13 + 18) = 2 \cdot 31= 62$$

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равносторонний, так как он равнобедренный и $\angle AOB = \angle OAB = \angle OBA = 60^\circ$.

Значит:

$$AB = 2AH = 2\cdot\tg AOH \cdot OH \Leftrightarrow OH = \frac{AB}{2\cdot \tg AOH} = \frac{64\sqrt3}{2\cdot\tg 30^\circ} =$$ $$= \frac{64\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{3}} = 96$$

$$\text{Покажем, что сумма периметров отсе-ченнных треугольников равна сумме длин сторон тре-угольника }ABC,\ \text{то есть равна его периметру.}$$ $$\text{Отрезки касательных, проведенных к окружно-сти из точек }K,\ H,\ O,\ F,\ N,\ M\ \text{соответственно равны друг другу (см. рис., равные отрезки выде-лены одинаковыми цветами). Следовательно,}$$ $$P_{BKM}=BQ+BR,\qquad P_{CNO}=CQ+CS,\qquad P_{AFN}=AS+AR.$$ $$\text{Сложим правые части полученных равенств:}$$ $$(BQ+BR)+(CQ+CS)+(AS+AR)=AB+BC+CA=P_{ABC}.$$ $$\text{Таким образом,}$$ $$P_{ABC}=P_{BKM}+P_{CNO}+P_{AFN}=24.$$ $$\text{Ответ: }24.$$

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон должны быть равны: $$AB + CD = BC + AD = 27$$ Тогда периметр равен: $$P_{ABCD} = 2(AB + CD) = 2\cdot27 = 54$$