Электричество

1. После установления режима постоянного тока конденсатор заряжен и ток через него не течёт. Ток источника задаётся законом Ома для замкнутой цепи: $$I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_0},\qquad R_0=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$ — эквивалентное сопротивление внешней ветви (параллель $R_1$ и $R_2$).

2. Так как конденсатор включён параллельно $R_1$ и $R_2$, напряжение на его обкладках равно падению напряжения на параллели: $$U=I R_0=\frac{\mathcal{E} R_0}{r+R_0} =\frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{\,r\,(R_1+R_2)+R_1 R_2\,}.$$

3. Энергия поля заряженного конденсатора: $$W=\frac{C U^{2}}{2} =\frac{C}{2}\left(\frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}\right)^{2}.$$ Отсюда выражение для ёмкости: $$C =2W\!\left(\frac{\,r(R_1+R_2)+R_1 R_2\,}{\mathcal{E} R_1 R_2}\right)^{\!2}.$$

Подстановка численных данных: $$C=120\cdot 10^{-6}\! \left(\frac{\,0{,}4\,(4+6)+24\,}{24\cdot 10}\right)^{\!2} \approx 1{,}6\cdot 10^{-6}\ \text{Ф}.$$

Мощность: $P=I^{2}R$.

1) Ключ разомкнут. По закону Ома для полной цепи $$I_1=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2+r} =\frac{\mathcal{E}}{2R+r},$$ где $R=R_1=R_2=R_3$. Мощность, выделяемая на $R_2$: $$P_1=I_1^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(2R+r)^{2}}.$$

2) Ключ замкнут. Параллельная ветвь $R_2\parallel R_3$ эквивалентна $$R_{23}=\frac{R}{2}.$$ Ток в цепи: $$I_{II}=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_{23}+r} =\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r}.$$ Поскольку $R_2=R_3$, ток делится поровну, и через $R_2$ течёт $$I_2=\frac{I_{II}}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r} =\frac{\mathcal{E}}{3R+2r}.$$ Тогда мощность на $R_2$ после замыкания: $$P_{II}=I_2^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(3R+2r)^{2}}.$$

Отношение мощностей. $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3R+2r}{2R+r}\right)^{2}.$$ Подставляя $R=1\ \text{Ом},\ r=0{,}5\ \text{Ом}$: $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3\cdot 1+2\cdot 0{,}5}{2\cdot 1+0{,}5}\right)^{2} =\left(\frac{4}{2{,}5}\right)^{2} =\frac{64}{25}\approx 2{,}56.$$

Резисторы $R_1$ и $R_3$ образуют одну последовательную ветвь, $R_2$ и $R_4$ — вторую; получившиеся ветви соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление внешней части цепи: $$R_0=\frac{(R_1+R_3)\,(R_2+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4} =\frac{(1+5)(2+10)}{1+2+5+10}=4\ \text{Ом}.$$

Тогда по закону Ома для полной цепи общий ток во внешней цепи $$I=\frac{\mathcal{E}}{R_0+r} =\frac{9}{4+2}=1{,}5\ \text{А}.$$

Напряжение на параллельных ветвях равно $$U=I\,R_0=1{,}5\cdot 4=6\ \text{В}.$$

Токи в каждой ветви по закону Ома для участка: $$I_1=\frac{U}{R_1+R_3}=\frac{6}{1+5}=1\ \text{А},\qquad I_2=\frac{U}{R_2+R_4}=\frac{6}{2+10}=0{,}5\ \text{А}.$$

Мощность, рассеиваемая на резисторе $R_2$, $$N_2=I_2^{\,2}R_2=(0{,}5)^2\cdot 2=0{,}5\ \text{Вт}.$$

Для решения задачи заметим, что после соединения конденсаторов напряжение $U$ на них будет одинаковым. Далее можем записать закон сохранения зарядов, согласно котором заряд до замыкания ключа $q_1=C_1U_1$ равен заряду после $q_2=С_1U+С_2U$ т.е.:
$$C_1U_1=U(C_1+C_2)\Rightarrow U=\frac{C_1U_1}{C_1+C_2}$$ Теперь рассмотрим энергии конденсаторов до и после соединения, очевидно что до замыкания ключа энергия равна $W_1=\frac{C_1U^2}{2}$, а после $W_2=\frac{(C_1+C_2)U^2}{2}$, тогда по закону сохранения энергии выделившееся в цепи количество теплоты равно разности значений энергии конденсаторов в начальном и конечном состояниях:
$$Q=W_1-W_2=\frac{C_1U_1^2}{2}-\frac{(C_1+C_2)U^2}{2}=\frac{C_1C_2U_1^2}{2(C_1+C_2)}=\frac{3\cdot10^{-6}\cdot6\cdot10^{-6}\cdot500^2}{2\cdot(3\cdot10^{-6}+6\cdot10^{-6})}=0.25\,\text{Дж}$$

Для решения задачи применим закон Ома для полного участка цепи, а именно:
$$I=\frac{\xi}{R+r} \quad\quad\quad I=\frac{U}{R}$$ $$\Downarrow$$ $$\xi=U+Ir$$ Тогда записав для каждого случая получим систему:
$$\xi=U_1+I_1r$$ $$\xi=U_2+I_2r$$ Из этой системы получим:
$$r=\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}=\frac{4.4-3.3}{2-1}=1.1\,\text{Ом} \quad\quad \xi=U_1+I_1r=4.4+1\cdot1.1=5.5\,\text{В}$$ Таким образом для третьего случая:
$$I_3=\frac{\xi-U_3}{r}=\frac{5.5-1}{1.1}\approx4.1\,\text{А}$$