Расчетная задача. МКТ и Электродинамика

Запишем условие дифракционного максимума: $d\sin\varphi=m\lambda$.

Так как для малых углов $\sin\varphi \approx \tg\varphi=\frac{b}{L}$, то $\frac{db}{L}=m\lambda$.

Запишем данное условие для красного и фиолетового света: $$\frac{db_k}{L}=m\lambda_k;\qquad \frac{db_\phi}{L}=m\lambda_\phi.$$

При вычитании получаем: $$\frac{d(b_k-b_\phi)}{L}=m(\lambda_k-\lambda_\phi).$$

Тогда расстояние от дифракционной решетки до экрана равно $$L=\frac{d(b_k-b_\phi)}{m(\lambda_k-\lambda_\phi)}=\frac{0{,}1\cdot 0{,}12}{500\cdot 3\cdot (760-380)\cdot 10^{-9}}\approx 21\ \text{м}.$$

Ответ: 21 м.

Запишем условия максимума для $1$-го и $2$-го порядков: $$\begin{cases} d\sin\varphi_1 = 1\lambda,\\[2mm] d\sin\varphi_2 = 2\lambda, \end{cases} \qquad\Rightarrow\qquad \begin{cases} \tan\varphi_1 \approx \sin\varphi_1 = \dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{c}{vd},\\[3mm] \tan\varphi_2 \approx \sin\varphi_2 = \dfrac{2\lambda}{d}=\dfrac{2c}{vd}. \end{cases}$$

На экране максимумы смещены на расстояния $x_1=f\tan\varphi_1$ и $x_2=f\tan\varphi_2$ от центрального максимума, где $f$ — фокусное расстояние линзы. По условию $$x_2-x_1=\Delta x=18\ \text{мм}.$$ Тогда $$\frac{2fc}{vd}-\frac{fc}{vd}=\Delta x \;\Rightarrow\; d =\frac{f c}{v\,\Delta x}.$$ Подставим численные значения: $$d=\frac{0{,}21\cdot 3\cdot 10^8}{8{,}0\cdot 10^{14}\cdot 18\cdot 10^{-3}} \approx 4{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{м}=4{,}4\ \text{мкм}.$$

Ответ: $4{,}4$.

При падении луча света на поверхность плёнки часть света отражается от верхней части плёнки, часть — проходит через плёнку и отражается от стекла. Эти два луча будут когерентными, они будут давать интерференционный минимум, если разность хода равна нечётному числу длин полуволн: $$\Delta d=(2k+1)\frac{\lambda_1}{2},\qquad k=0,1,2,\ldots$$ При этом длина световой волны в плёнке будет равна $$\lambda_1=\frac{\lambda}{n}.$$

Тогда получаем $$2h=(2k+1)\frac{\lambda}{2n},$$ откуда $$\lambda=\frac{4hn}{2k+1}.$$

При $k=0$ длина волны равна $$\lambda=\frac{4\cdot 150\cdot 10^{-9}\cdot 1,2}{1}=720\ \text{нм}.$$

При $k=1$ длина волны равна $$\lambda=\frac{4\cdot 150\cdot 10^{-9}\cdot 1,2}{3}=240\ \text{нм}.$$

Однако данная длина волны не входит в диапазон видимого света. Поэтому значение $720$ нм не является единственным решением данной задачи.

Ответ: $720$ нм.

Запишем формулу собирающей линзы, дающей действительное изображение: $$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=D.$$

Так как изображение увеличенное, то $$k=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}, \quad\text{откуда}\quad f=kd.$$ Тогда получаем: $$\frac{1}{d}+\frac{1}{kd}=D.$$

Следовательно: $$d=\frac{1+k}{kD}=\frac{2+1}{2\cdot 5}=30\ \text{см}.$$

Найдём расстояние от линзы до изображения: $$f=kd=2\cdot 30=60\ \text{см}.$$

Следовательно, расстояние от предмета до изображения равно $$x=d+f=30+60=90\ \text{см}.$$

Ответ: 90 см.

Условие дифракционного максимума: $d\sin\alpha = m\lambda$, при этом длина волны $\lambda=\frac{c}{\nu}$.

Наибольший порядок дифракционного максимума наблюдается при условии $\sin\alpha=1$. Таким образом, наибольший порядок дифракционного максимума равен $$m_{\max}=\frac{d\nu}{c} =\frac{10^{-3}\cdot 5\cdot 10^{14}}{500\cdot 3\cdot 10^{8}} \approx 3{,}3.$$

Следовательно, наибольший порядок равен $3$.

Ответ: 3.