Электродинамика

Для решения задачи заметим, что на капельку действует две силы, силы тяжести $F_\text{т}=mg$, направленная вниз и сила электрического поля $F_\text{э}=Eq$, направленная вверх. И так как капелька находится в покое, то из условия равновесия следует, что: $$F_\text{э}=F_\text{т}$$ $$Eq=mg$$ Так как поле внутри конденсатора однородное, то напряжённость поля можно найти по формуле $E=\frac{U}{d}$. Так же выразим массу капли через соотношение $m=\rho V$, таким образом получим: $$\frac{Uq}{d}=\rho Vg$$ Откуда можем выразить искомый заряд капли: $$q=\frac{\rho Vgd}{U}=\frac{13600\cdot2\cdot10^{-18}\cdot10\cdot2\cdot10^{-2}}{1\cdot10^3}=5.44\cdot10^{-18}\,\text{Кл}$$

Для решения задачи запишем закон Ома для полной цепи а, так же закон Ома для участка цепи, содержащего лампу и резистор: $$I=\frac{\xi}{R_\text{общ}+r} \quad\quad\quad I=\frac{U}{R_\text{общ}}$$ Где $R_\text{общ}$ – общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенной ламы и резистора, для его нахождение можем применить формулу: $$R_\text{общ}=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R_\text{л}}\right)^{-1}=6\,\text{Ом}$$ Объединяя все вышеперечисленные формулы получим: $$U=IR_\text{общ}=\frac{\xi R_\text{общ}}{R_\text{общ}+r}=\frac{50\cdot6}{6+4}=30\,\text{В}$$ При этом в конденсаторе накопится энергия: $$W_C=\frac{CU^2}{2}$$ Далее рассмотрим случай с размыканием ключа К, в этом случае вся накопленная в конденсаторе энергия выделится на участке с лампой и резистором в виде тепла за какое-то время t т.е. $W_C=W_R+W_{R_\text{л}}$. По закону Джоуля - Ленца на резисторе выделится энергия $W_R=P_Rt=\frac{U^2t}{R}t$, а на лампочке $W_{R_\text{л}}=P_{R_\text{л}}t=\frac{U^2t}{R_\text{л}}$. Заметим, что для выделившихся энергий справедливо соотношение: $$\frac{W_{R_\text{л}}}{W_R}=\frac{\frac{U^2t}{R_\text{л}}}{\frac{U^2t}{R}t}=\frac{R}{R_\text{л}}\Rightarrow W_{R_\text{л}}=\frac{R\cdot W_R}{R_\text{л}}$$ Тогда получим уравнение: $$W_C=W_R+W_{R_\text{л}}\Rightarrow \frac{CU^2}{2}=W_R+\frac{R\cdot W_R}{R_\text{л}}$$ Откуда можем выразить искомое количество теплоты выделится после размыкания ключа К на резисторе: $$W_R = \frac{W_C}{1 + \frac{R}{R_\text{л}}} = \frac{CU^2}{2 \cdot \left( 1 + \frac{R}{R_\text{л}} \right)} = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 30^2}{2 \cdot \left( 1 + \frac{15}{10} \right)} = 0.018 \, \text{Дж}$$

ля решения задачи заметим, что на шарик будут действовать три силы, сила тяжести $F_\text{т}=mg$, сила натяжения нити и сила со стороны электрического поля $F_\text{э}=qE$. Изобразим эти силы на рисунке:

Далее применим теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой работа всех сила равна изменению кинетической энергии $\Delta E_\text{к}=A_\text{всех сил.}$. Так как сила натяжения в любой момент времени перпендикулярна скорости шарика, то её работа равна нулю. Силы $\vec{F_\text{т}}$ и $\vec{F_\text{э}}$ потенциальны, т.е. их работа этих сил не зависит от траектории, соответственно тогда можем выбрать траекторию движения шарика следующим образом, сначала из исходного положения вверх на расстояние h, затем по горизонтали на расстояние b в конечное положение, в таком случае работа силы тяжести равна $A_\text{т}=-mgh$, а работа электрического поля $A_\text{э}=Eqb$, таким образом получаем: $$\Delta E_\text{к}=A_\text{всех сил.}=A_\text{т}+A_\text{э}=-mgh+Eqb$$ Исходя из геометрии справедливы следующие соотношения: $$h=l(1-\cos{\alpha})\quad\quad\quad b=l\sin{\alpha}$$ Таким образом получаем: $$\Delta E_\text{к}=\frac{mv^2}{2}-0=\frac{mv^2}{2}=-mgl(1-\cos{\alpha})+Eql\sin{\alpha}$$ Откуда модем выразить искомую массу шарика $m$: $$m = \frac{2qEl\sin\alpha}{v^2 + 2gl(1 - \cos\alpha)} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0.8 \cdot 0.5}{0.81 + 2 \cdot 10 \cdot 0.8 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \approx 8.1 \cdot 10^{-4} \, \text{кг}$$

Для решения заметим, что диод включен противоположно направлению тока, а так как диод идеальный, то ток через него, а следовательно, и через резистор $R_2$ не течёт.
Далее рассмотрим случай при разомкнутом ключе К, в этом случае резисторы $R_1$ и $R_3$ будут подключены последовательно, а следовательно их общее сопротивление равно $R=R_1+R_3=2R$. Тогда по закону Ома для всей цепи сила тока в контуре равна: $$I_0=\frac{\xi}{2R}\Rightarrow \xi=2IR$$ Теперь перейдём к случаю с замкнутым ключом К, в этом случае лампа и резистор $R_3$ будут подключены параллельно, а уже последовательно к ним будет подключен резистор $R_1$, следовательно в этом случае общее сопротивление цепи равно: $$R'=R_1+\left(\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_\text{л}}\right)^{-1}=R+\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{3R}\right)^{-1}=\frac{7}{4}R$$ Тогда по закону Ома для всей цепи сила тока в контуре равна: $$I_0'=\frac{\xi}{\frac{7}{4}R}=\frac{4\xi}{7R}$$ При этом можем найти напряжение на параллельных участках $$U=\xi-I_0'R_1=\xi-\frac{4\xi}{7R}\cdot R=\frac{3}{7}\xi$$ Тогда ток, проходящий через лампу: $$I'_\text{л}=\frac{U}{R_\text{л}}=\frac{\frac{3}{7}\xi}{3R}=\frac{\frac{3}{7}\cdot2I_0R}{3R}=\frac{2I_0}{7}=\frac{2\cdot1.4}{7}=0.4\,\text{А}$$ Видим, что эта величина меньше минимальной силы тока ($0.4<0.5\Rightarrow I'_\text{л}<I$), а значит лампа не загорится.

Для решения задачи затмим, что изначально в цепи ток не течет, но после замыкания ключа К, цепь будет полностью замкнутой, а значит по ней потечёт ток. Тогда конденсатор начнёт заряжаться до напряжения $U_C$, тогда на конденсаторе образуется заряд $q=CU_C$, после чего ток через конденсатор прекратится.
Обозначим токи, текущие через резисторы $R_1$, $R_2$ и $R_3$, как $I_1$, $I_2$ и $I_3$, соответственно. Тогда согласно первом закон Кирхгофа $I_1=I_2+I_3$.

Согласно закону Ома для полной цепи $U=IR_\text{общ}$, где $R_\text{общ}$ – суммарное сопротивление всей цепи, которое равно: $$R_\text{общ}=R_1+\left(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3+R_4}\right)^{-1}=R_1+\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_2+R_3+R_4}$$ Далее применим закон Ома для участка цепи, согласно которому: $$U_C=I_1R_1+I_3R_3$$ С другой стороны, напряжение на резисторе $R_2$ и резисторах $R_3$ и $R_1$ равны, следовательно: $$I_2R_2=I_3R_3+I_1R_1$$ Таким образом объединяя все уравнения можем выразить искомые заряд на конденсаторе: $$q = CU \frac{R_1(R_2 + R_3 + R_4) + R_2R_3}{R_1(R_2 + R_3 + R_4) + R_2(R_3 + R_4)} \approx 10.2 \, \text{мкКл}$$