Неравенства

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = a + 3$$

$$x_1x_2 = 2a$$

Чтобы оба корня были положительными, нужно:

• $x_1x_2 > 0$
• $x_1 + x_2 > 0$

Получаем:

$$2a > 0 \Rightarrow a > 0$$

$$a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$$

Остаётся пересечение условий:

$$a > 0$$

Проверим, что корни действительно существуют:

$$D = (a + 3)^2 - 8a = a^2 - 2a + 9 = (a - 1)^2 + 8 > 0$$

Значит, при $a > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня, и оба положительны.

Ответ: $a > 0$.

Находим дискриминант:

$$D = a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6).$$

Методом интервалов определяем знаки дискриминанта:

Соответственно, рассматриваем следующие случаи. Если $a < -6$ или $a > 6$, то уравнение имеет два корня:

$$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 36}}{2}. \tag{2}$$

Если $a = -6$, то корень один, и он легко получается из формулы (2): $x = 3$. Аналогично, если $a = 6$, то $x = -3$. Наконец, если $-6 < a < 6$, то уравнение не имеет решений.

Ответ: Если $a \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$, то

$$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 36}}{2};$$ если $a = -6$, то $x = 3$; если $a = 6$, то $x = -3$; если $a \in (-6; 6)$, то решений нет.

Пусть $a = 0$. Тогда уравнение примет вид $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Пусть теперь $a \ne 0$. Тогда уравнение является квадратным, и его дискриминант $D = 1 - 4a$.

При $a \le \frac{1}{4}$ дискриминант неотрицателен, поэтому

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{2a}.$$

Если же $a > \frac{1}{4}$, то $D < 0$ и уравнение не имеет корней.

Ответ: Если $a \in (-\infty; 0) \cup \left(0; \frac{1}{4}\right]$, то

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{2a};$$ если $a = 0$, то $x = -1$; если $a \in \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$, то решений нет.

ОДЗ:

$$x \ne 1$$

Решение:

Умножим обе части на $x - 1$:

$$2 = x - 1$$

$$x = 3$$

Ответ:

$$x = 3$$

ОДЗ:

$$x \ne 2$$

Решение:

Умножим обе части на $x - 2$:

$$x + 1 = 2(x - 2)$$

$$x + 1 = 2x - 4$$

$$x = 5$$

Проверка: $5 \ne 2$, корень подходит.

Ответ:

$$x = 5$$