Финансовая математика

Пусть 15-го числа каждого месяца с 1 по 15 сумма долга уменьшается на х тысяч рублей.

Тогда в первые 15 месяцев выплата, производимая со 2-е по 14-е число каждого месяца, будет складываться из набежавших в 1-е число этого месяца процентов (сумма задолженности на конец предыдущего месяца, умноженная на $\frac{r}{100}$) и этой самой выплаты в $x$ тысяч рублей. При этом полная сумма выплаченных процентов составит $1228-1100=128$ тысяч рублей.

При этом сумма долга первые 15 месяцев будет составлять $1100, 1100-x, 1100-2x,\dots ,1100-15x$ соответственно на конец каждого месяца, начиная с декабря.

Составим мат.модель для подсчета суммы всех выплаченных процентов:

$$128=\frac{r}{100}1100+\frac{r}{100}(1100-x)+\frac{r}{100}(1100-2x)+\dots +\frac{r}{100}(1100-15x)\\ 128=\frac{r}{100}(1100+1100-x+1100-2x+\dots +1100-15x)$$

По формуле арифметической прогрессии:

$$128=\frac{r}{100}\cdot \frac{(1100+1100-15x)}{2}16$$

При этом $1100-15x$ $-$ сумма долга на 15-е число 15-го месяца, которая по условию равна 500 тысячам рублей. Тогда получаем:

$$128=\frac{r}{100}\cdot \frac{(1100+500)}{2}16\\ 1600=r\cdot 1600\\ r=1$$

Ответ: 1.

Пусть $S$ - сумма взятая в кредит, $x$ - одна из равных выплат. Тогда за $3$ года выплатили $3x=S+104800$. $S=3x-104800$

Так как на долг начисляется $25\%$, то это значит, что он увеличивается в $1,25$ раз

январь $2021$ долг: $1,25S$

июль $2021$ долг: $1,25S-x$

январь $2022$ долг: $1,25(1,25S-x)$

июль $2022$ долг: $1,25(1,25S-x)-x$

январь $2023$ долг: $1,25(1,25(1,25S-x)-x)$

июль $2023$ долг: $1,25(1,25(1,25S-x)-x)-x$

Так как долг погашен за $3$ равные платежа, то долг в июле $2023$ года равен $0$

$1,25(1,25(1,25S-x)-x)-x=0$, представим $1,25=\frac{5}{4}$

$$\left(\frac{5}{4}\right)^3S-\left(\frac{5}{4}\right)^2x-\frac{5}{4}x-x=0\Rightarrow \frac{125}{64}S=\frac{25}{16}x+\frac{5}{4}x+x\Rightarrow \frac{125}{64}S=\\ =\frac{25+20+16}{16}x\Rightarrow 125S=244x\\ 125(3x-104800)=244x\Rightarrow 375x-125\cdot 104800=244x\Rightarrow 131x=125\cdot 104800x=125\cdot 800=100000$$

Так как было сделано $3$ выплаты, то банку выплатили: $3\cdot 100000=300000$ рублей.

Ответ: $ 300 тыс. руб.$

$n=3$

$N$ - количество лет

$r=10$

$S$ - долг

$X$ - выплата (состоит из погашения начисляемых процентов и $2$ млн. руб.)

$$x=0,1S+2$$

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$1,1S-x$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x$$

Составим математическую модель:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x=0\\ (1,1^2S-1,1x-x)\cdot 1,1-x=0\\ 1,1^3S-1,1^2x-1,1x-x=0\\ 1,1^3S-x(1,1^2+1,1x+1)=0\\ 1,331S-x\cdot 3,31=0$$

Но

$$x=0,1S+2$$

Значит:

$$1,331S-(0,1S+2)\cdot 3,31=0\\ 1,331S-0,331S-6,62=0\\ S=6,62$$

Тогда:

$$x=0,1\cdot 6,62+2=2,662$$

Нужно узнать сколько процентов начислится после второго года

Стало в конце первого года:

$$S\cdot 1,1$$

Внесли платеж в начале второго:

$$S\cdot 1,1-x$$

Остаток после двух выплат:

$$(S\cdot 1,1-x)1,1-x$$

$$((S\cdot 1,1-x)1,1-x)\cdot 0,1=(S\cdot 1,1^2-1,1x-x)\cdot 0,1=\\ =(1,21S-2,1x)\cdot 0,1=(1,21S-2,1(0,1S+2))\cdot 0,1=(1,21S-0,21S-4,2)\cdot 0,1=\\ =(S-4,2)\cdot 0,1=(6,62-4,2)\cdot 0,1=0,242 ~млн.~ руб.$$

То есть наименьшая из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом $242$ тыс. руб.

Ответ: 242 000

$r=24$

В году $t$ стоимость ценных бумаг составляет:

$$10t$$

В $t+1$ году стоимость ценных бумаг составляет:

$$10(t+1)=10t+10$$

Посчитаем на сколько $\%$ изменится цена $t$ года, по сравнению с годом $t+1$:

$$\frac{10t+10t+10}{10t}=\frac{10}{10t}=\frac{1}{t}$$

Значит доход убывает на $\frac{1}{t}$, при $t\in N$.

Тогда необходимо сделать так, чтобы начисляемый процент в банке стал больше, чем доход,

который будет в пенсионном фонде $$\begin{aligned} \frac{1}{t}<24\%\\ \frac{1}{t}<\frac{24}{100}\\ 1<\frac{24t}{100}\\ t>\frac{100}{24}\\ t>4\frac{1}{6} \end{aligned}$$ Значит $t=5$, то есть в конце $5$ года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей.

Ответ: 5

Страна $A$:

В $2015$ году производили $192$ кг.

Так как ежегодно производство увеличивается на $20\%$, значит, в $2018$ году будет:

$$192\cdot 1,2^3$$

Страна $B$:

$$\frac{Все~производство}{на~все~души}=производство~зерна~на~душу~населения~(*)$$

В $2015$ году:

Пусть $k$ - количество населения.

Тогда $375k$ было производство зерна.

Значит, все производство составило:

$$375k\cdot 1,14^3$$

(То есть стало в $2018$ году)

Все души:

$$k\cdot (1+\frac{m}{100})^3$$

(То есть стало в $2018$ году)

Подставим в *

$$\frac{375k\cdot 1,14^3}{k\cdot (1+\frac{m}{100})^3}=\\ =\frac{375\cdot 1,14^3}{(1+\frac{m}{100})^3}$$

Так как в $2018$ году производство зерна на душу населения в странах $A$ и $B$ стало одинаковым.

$$192\cdot 1,2^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{(1+\frac{m}{100})^3}$$

Пусть: $$\begin{aligned} t=1+\frac{m}{100}\\ 192\cdot 1,2^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{t^3}\\ t^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{192\cdot 1,2^3}\\ t^3=\frac{5^3\cdot 1,14^3}{4^3\cdot 1,2^3}\\ t=\frac{5\cdot 1,14}{4\cdot 1,2}\\ t=\frac{5\cdot 114}{4\cdot 120}\\ t=\frac{5\cdot 19}{4\cdot 4}\\ t=\frac{19}{16} \end{aligned}$$ Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{m}{100}=\frac{19}{16}\\ \frac{m}{100}=\frac{3}{16}\\ m=\frac{300}{16}\\ m=18,75 \end{aligned}$$ Ответ: 18,75