Финансовая математика

$n=4$

$n$ - количество лет

$S$ - долг (целое число)

$r=25$ - увеличение долга

$A$ - общая сумма выплат

$A<50$ млн. руб.

$X$ - выплата каждый год

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$S\cdot 1,25-x_1=0,8S$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$S\cdot 0,8\cdot 1,25-x_2=0,6S$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$S\cdot 0,6\cdot 1,25-x_3=0,4S$$

Начисление процентов в четвертый год и выплата четвертого платежа:

$$S\cdot 0,4\cdot 1,25-x_4=0$$

Выразим вносимые платежи

$$x_1=1,25S-0,8S=0,45S\\ x_2=S-0,6S=0,4S\\ x_3=0,75S-0,4S=0,35S\\ x_4=0,5S$$

Общая сумма выплат составляет:

$$A=x_1+x_2+x_3+x_4\\ x_1+x_2+x_3+x_4<50\\ 0,45S+0,4S+0,35S+0,5S<50\\ 1,7S<50\\ S<\frac{500}{17} \\ S < 29\frac{7}{17}$$

Но так как $S$ целое число и необходимо наибольшее значение $S$, значит $S=29$ млн. руб.

Ответ: 29

$n=3$

$n$ - количество лет

$S$ - долг (целое число)

$r\% =20\%$ - процентная ставка

$k = 1 + \frac{r}{100} = 1,2$ — коэффициент увеличения долга.

$X$ - выплата каждый год

$A$ - общая сумма выплат

Каждая выплата $<5$ млн. руб.

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$S\cdot 1,2-x_1=0,8S$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$S\cdot 0,8\cdot 1,2-x_2=0,4S$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$S\cdot 0,4\cdot 1,2-x_3=0$$

$$x_1=0,4S\\ x_2=0,56S\\ x_3=0,48S$$

Значит $x_2$ является наибольшей выплатой.

Но если наибольшая выплата меньше $5$ млн., то и остальные выплаты меньше $5$ млн. руб.

$$\begin{aligned} 0,56S<5\\ S<\frac{5}{0,56}\\ S<\frac{500}{56}\\ S<\frac{125}{14} \\ S < 8\frac{13}{14} \end{aligned}$$

Но так как $S$ целое число и оно должно быть наибольшим, значит $S=8$ млн. руб.

Ответ: 8 млн. руб.

Пусть $S$ - сумма долга

$r=5$ (увеличение долга в $\%$)

$X$ - выплата

$\cdot 1,05$ - начисление $\%$

Спустя месяц долг составит:

$$S\cdot 1,05-x_1=0,9S,$$

то есть:

$$S\cdot 1,05-0,9S=x_1$$

Спустя $2$ месяца долг составит:

$$0,9S\cdot 1,05-x_2=0,8S,$$

то есть:

$$0,9S\cdot 1,05-0,8S=x_2$$

Спустя 3 месяца долг составит:

$$0,8S\cdot 1,05-x_3=0,7S,$$

то есть:

$$0,8 S\cdot 1,05-0,7S=x_3$$

Спустя $4$ месяца долг составит:

$$0,7S\cdot 1,05-x_4=0,6S,$$

то есть

$$0,7 S\cdot 1,05-0,6S=x_4$$

Спустя $5$ месяцев долг составит:

$$0,6S\cdot 1,05-x_5=0,5S,$$

то есть:

$$0,6 S\cdot 1,05-0,5S=x_5$$

Спустя 6 месяцев долг составит:

$$0,5S\cdot 1,05-x_5=0,$$

то есть:

$$0,5S\cdot 1,05-0=x_6$$

Тогда:

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)\cdot 1,05-\\ -(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4,5S\cdot 1,05-3,5S\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4,725S-3,5S\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=1,225S$$

То есть все выплаты составят $1,225S$

$$(\frac{1,225S-S}{S})\cdot 100\%=22,5\%$$

Значит на $22,5\%$ общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита.

Ответ: 22,5

$S$ - долг (целое число)

$S=1$ млн. руб.

$r\%=2\%$ увеличение долга

$A$ - общая сумма выплат

$A=1346000$ рублей

Так как $S=1$ млн. руб., а сумма выплат составляет $1346000$ руб, значит переплата составляет $346000$ рублей.

Считаем в тысячах рублей

Начисление $2\%$ на $1000$:

$$1000\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $2$ год:

$$(1000-15)\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $3$ год:

$$(1000-15\cdot 2)\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $2018+n$

$$(1000-15n)\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $2019+n$

$$(1000-15n-x)\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $2020+n$

$$(1000-15n-2x)\cdot 0,02$$

Начисление $2\%$ за $2020+2n$

$$600\cdot 0,02$$

Обозначим выражение как (1)

$$346=1000\cdot 0,02+(1000-15)\cdot 0,02+(1000-15\cdot 2)\cdot 0,02+…+\\ +(1000-15n)\cdot 0,02+(1000-15n-x)\cdot 0,02+(1000-15n-2x)\cdot 0,02+…+600\cdot 0,02$$

$2018+n$ является годом $n+1$, так как каждый год долг уменьшался на $15$ тыс. рублей, а на момент $2018+n$ долг уменьшился на $15n$

$2019+n$ является годом $n+2$

$2020+n$ является годом $n+3$

$2018+2n$ является годом $2n+1$

То есть кредит был взят на $2n+1$ год

Тогда до года $2018+2n$ прошло $2n$ лет

$$600=1000-15n-nx,$$

то есть:

$$15n+nx=400\\ n=400(15+x)$$

Преобразуем выражение (1):

$$346=0,02( 1000+1000-15+1000-15\cdot 2+...+1000-15n) +0,02( 1000-15n-\\ -x+1000-15n-2x+...+600)\\ 346=0,02\cdot \frac{1000+1000-15n}{2} \cdot ( n+1) +0,02\cdot \frac{1000-15n-x+600}{2} \cdot n\\ 346=0,02\left(\frac{2000-15n}{2} \cdot ( n+1)\right) +0,02\cdot \frac{1600-15n-x}{2} \cdot n\\ 346=0,01( 2000-15n)( n+1) +0,01( 1600-15n-x) \cdot n\\ 0,01\left( 2000-15n^{2} +2000-15n\right) +0,01\left( 1600-15n^{2} -xn\right) =346|\cdot 100\\ 2000-15n^2+2000-15n+1600n-15n^2-xn=34600\\ 30n^2+15n+xn-2000n-2000-1600n+34600+0$$

Но так как $15n+nx=400$, значит:

$$30n^2-2000n+400-2000-1600n+34600=0\\ 30n^2-3600n+33000=0|:30\\ n^2-120n+1100=0\\ (n-10)(n-110)=0\\ n=10~или~n=110$$

Проверим корни:

$1000-15n$ долг на $2018+n$ год

$$1000-15\cdot 110=-600,$$

но долг не может быть отрицательным, значит $n=110$ не подходит.

$$1000-15\cdot 10=850,$$

значение положительное, значит $n=10$.

Если $n=10$, значит кредит был взят на $21$ год, то есть последний платеж будет в $2038$ году.

Ответ: 2038 год

За 10 месяцев долг уменьшился на $1200-400=800$ тыс. руб.

Долг уменьшался каждый месяц на $\frac{800}{10} =80$ тыс. руб.:

Составим математическую модель для общей суммы выплат: $$S_{выплат} =S( долг) +все\%\\ S_{выплат} =S+S\cdot 0,01+( S-80) \cdot 0,01+( S-2\cdot 80) \cdot 0,01+( S-3\cdot 80) \cdot 0,01+\\ (S-4\cdot 80) \cdot 0,01+( S-5\cdot 80) \cdot 0,01+( S-6\cdot 80) \cdot 0,01+( S-7\cdot 80) \cdot 0,01+( S-8\cdot 80) \cdot 0,01+\\ +(S-9\cdot 80) \cdot 0,01+( S-10\cdot 80) \cdot 0,01\\ S_{выплат} =S+0,11\cdot S-44=1,11\cdot S-44\\ S_{выплат} =1,11\cdot 1200-44=1288\ тыс.руб.$$ Ответ: 1288