Финансовая математика

За 30 месяцев долг уменьшился на $900-300=600$ тыс. руб. Долг уменьшался каждый месяц на $\frac{600}{30} =20$ тыс. руб.: Пусть $S$ - сумма долга, а $S - ( n-1) \cdot 20$ - изменение долга каждый месяц, где $n$ - номер месяца.

Составим математическую модель для общей суммы выплат: $$S_{выплат} =S( долг) +все\%\\ S_{выплат} = S+S\cdot 0,02+( S-20) \cdot 0,02+( S-2\cdot 20) \cdot 0,02+( S-3\cdot 20) \cdot 0,02+( S-4\cdot 20) \cdot 0,02+\dotsc \\ +( S-30\cdot 20) \cdot 0,02\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot 900-600}{2} \cdot 31)\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot S-600}{2} \cdot 31) =1272\ тыс.руб.$$ Ответ: 1272

$S$ - размер кредита

$S=1200$ тыс. руб.

Количество месяцев:

$$n+1$$

$r\%$ (увеличение кредита в $\%$)

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

$A=1288$ тыс. руб. (общая сумма выплат)

Все начисленные проценты составят:

$$1288-1200=88~тыс. руб.$$

Размер долга в $n$ месяц:

$$1200-400$$

Потом долг стал уменьшаться:

$$\frac{1200-400}{n},$$

то есть на $80$ тыс. руб.

$$\frac{1200-400}{n}=80\\ 1200-400=80n\\ 800=80n\\ n=10~месяцев$$

Но кредит взяли на $n+1$, значит кредит взяли на $11$ месяцев.

Составим математическую модель для переплат:

Начисление процентов в первый год:

$$1200\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов во второй год:

$$(1200-80)\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов в третий год:

$$(1200-2\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов в последний год:

$$(1200-10\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}$$

$$88=1200\cdot\frac{r}{100}+(1200-80)\cdot\frac{r}{100}+(1200-2\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}+(1200-10\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}\\ 88=\frac{r}{100}\cdot (1200+1200-80+1200-2\cdot 80+…+1200-10\cdot 80)$$

Арифметическая прогрессия:

$$1200+1200-80+1200-2\cdot 80+…+1200-10\cdot 80$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$\begin{aligned} 88=\frac{r}{100}\cdot\frac{1200+400}{2}\cdot 11\\ 88=\frac{r}{100}\cdot 800\cdot 11\\ 8=\frac{r}{100}\cdot 800\\ 1=\frac{r}{100}\cdot 100\\ r=1 \end{aligned}$$ Ответ: 1

$S$ - размер кредита

$S=1200$ тыс. руб.

$n$ - количество месяцев

$n=13$

$r=2$ (увеличение кредита в %))

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

$A=804$ тыс. руб. (общая сумма выплат)

Составим математическую модель для всех выплат:

Начисленные проценты в $1$ месяц:

$$S\cdot 0,02$$

Начисленные проценты во второй месяц и внесение платежа:

$$(S-50)\cdot 0,02$$

Начисленные проценты в последний месяц и внесение платежа:

$$(S-50\cdot 12)\cdot 0,02$$

$$804=S+S\cdot 0,02+(S-50)\cdot 0,02+(S-2\cdot 50)\cdot 0,02+…+(S-50\cdot 12)\cdot 0,02\\ 804=S+0,02\cdot (S+S-50+S-2\cdot 50+…+S-50\cdot 12)$$

Арифметическая прогрессия:

$$S+S-50+S-2\cdot 50+…+S-50\cdot 12$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$804=S+0,02\cdot\frac{S+S-50\cdot 12}{2}\cdot 13\\ 804=S+0,02\cdot (S-50\cdot 6)\cdot 13\\ 804=S+0,02\cdot (S-300)\cdot 13\\ 804=S+0,26\cdot S-0,26\cdot 300\\ 882=1,26\cdot S\\ S=\frac{882}{1,26}\\ S=\frac{88200}{126}=700~тыс. руб.$$

Значит, кредит планируется взять на $700$ тыс. руб.

Ответ: 700

$S=1000000$ руб.

$r\%$ (увеличение долга в $\%$)

Пусть:

$$\frac{r}{100}=k$$

$\cdot k$ начисление $\%$

$n+1$ - количество месяцев

Долг в $n+1$ составит $200$ тыс. руб.

Уменьшение долга на $40$ тыс. руб. в период с $1$-го по $n$-й

$A=1378$ тыс. руб.

$A$ - общая сумма выплат

Так как $S=1000000$ руб, а $A=1378$ тыс. руб., значит, переплаты составят:

$$1378000~руб-1000000~руб=378~тыс. руб.$$

Ведем расчет в тыс. руб.

$$378=1000k+(1000-40)k+(1000-2\cdot 40)k+…+(1000-20\cdot 40)k\\ 378=k(1000+960+920+…+200)$$

Арифметическая прогрессия:

$$1000+960+920+…+200$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$378=k\cdot\frac{1000+200}{2}\cdot 21\\ 378=k\cdot 600\cdot 21\\ k=0,03$$

Тогда:

$$\frac{r}{100}=0,03\\ r=3$$

Ответ: 3

$S$ - сумма кредита

$r=3$ (увеличение долга в $\%$)

$$\frac{r}{100}=k$$

$\cdot k$ начисление $\%$

$n$ - количество месяцев

$n=21$

$A=1604$ тыс. руб.

$A$ - общая сумма выплат

С $1$-го по $20$-й долг уменьшается на $30$ тыс. Тогда:

$$1604=S+S\cdot k+(S-30)\cdot k+(S-2\cdot 30)\cdot k+…+(S-20\cdot 30)\cdot k\\ 1604=S+k\cdot (S+S-30+S-2\cdot 30+…+S-20\cdot 30)$$

Арифметическая прогрессия:

$$S+S-30+S-2\cdot 30+…+S-20\cdot 3$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$1604=S+k\cdot 21\cdot\frac{S+S-20\cdot 30}{2}\\ k=0,03$$

Значит:

$$1604=S+0,03\cdot 21\cdot\frac{S+S-20\cdot 30}{2}\\ 1604=S+0,03\cdot 21\cdot (S-300)\\ 1604=S+0,63S-189\\ 1,63S=1793\\ S=1100~тыс. руб.$$

Значит, размер кредита составлял $1100000$ руб.

Ответ: 1100000