Финансовая математика

$S \ -$ сумма кредита

$r$ = 20

$x \ -$ сумма платежа

Необходимо найти общую сумму, выплаченную банком, то есть $2x$. Составим мат. модель: $$\left( S \left( 1+\frac{r}{100} \right) -x \right) \left( 1+\frac{r}{100} \right) -x=0\\ ( 550\cdot 1,2-x) 1,2-x=0\\ ( 660-x) 1,2-x=0\\ 792-1,2x-x=0\\ x=360$$ Общая сумма $= 2x=720$ тысяч рублей.

Ответ: 720 000

$S$ - сумма долга

$S=400$ тыс. руб.

Долг увеличивается на $r\%$

Увеличение долга в:

$$k=1+\frac{r}{100}$$

$X$ - платеж

$x_1=330$ тыс. руб.

$x_2=121$ тыс. руб.

$N$ - выплачиваемый период

$N=2$

Выплата в первый год:

$$400(1+\frac{r}{100})-330$$

Выплата за первый и второй год:

$$(400(1+\frac{r}{100})-330)(1+\frac{r}{100})-121$$

Составим математическую модель $$\begin{aligned} (400(1+\frac{r}{100})-330)(1+\frac{r}{100})-121=0\\ (400k-330)k-121=0\\ 400k^2-330k-121=0\\ D=302500\\ k_1=\frac{330-550}{800}<0 ~(k>0)\\ k_2=\frac{330+550}{800}=1,1 \end{aligned}$$ Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,1\\ \frac{r}{100}=0,1\\ r=10 \end{aligned}$$ Ответ: 10

Пусть сумма кредита $S=3,3$ млн. руб., а платежи в $2030$ и $2031$ равны $x$ млн. руб. (последний платеж). Так как по условию в $2027$, $2028$ и $2029$ годах долг остается равен $S$, то первые три платежа будут равны $0,2\cdot S=0,2\cdot 3,3~млн.~руб. =0,66 ~млн.~ руб.$ (выплачиваются только проценты по долгу).

В $2030$ году имеем: $1,2\cdot S-x$

Соответственно в $2031$ году: $1,2( 1,2\cdot S-x) -x$

В $2031$ году данный долг должен быть выплачен полностью, следовательно:

$$1,2( 1,2\cdot S-x) -x=0\\ 1,44S-1,2x-x=0\\ 1,44S=2,2x\\ x=\frac{1,44S}{2,2} =\frac{1,44\cdot 3,3\ млн\ руб}{2,2} =\ 2,16\ млн\ руб.$$

Найдем разницу между первым и последним платежами:

$$2,16-0,66=1,5\ млн\ руб.$$

Ответ: 1,5

$S$ - сумма долга (в руб.)

Долг увеличивается на $30\%$

$X$ - ежегодный платеж

Первое увеличение долга на $30\%$ и внесен первый платеж:

$$S\cdot 1,3-x$$

Второе увеличение долга на $30\%$ и внесен второй платеж:

$$(S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$$

Третье увеличение долга на $30\%$ и внесен третий платеж:

$$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$$

Общая сумма выплат:

$$S+78030$$

Составим математическую модель для суммы долга

$$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x=0\\ (S\cdot 1,3\cdot 1,3-x\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-х=0$$ $$3x=S+78030\\ x=\frac{S+78030}{3}$$ $$S\cdot 1,3^3-1,3^2x-1,3x-x=0\\ S\cdot 1,3^3=x(1,3^2+1,3+1)\\ (1,3^2+1,3+1)-геометрическая~прогрессия\\ S\cdot 1,3^3=x\frac{1,33-1}{1,3-1}$$

Но $x=\frac{S+78030}{3}$

Значит: $$\begin{aligned} S\cdot 1,3^3=\frac{S+78030}{3}\cdot \frac{1\cdot 1,3^3-1}{1,3-1}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=\frac{(S+78030)\cdot 11,97}{9}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=(S+78030)\cdot 1,3^3\\ S\cdot 2197=(S+78030)\cdot 1330\\ S\cdot 2197=S\cdot 1330+78030\cdot 1330\\ 867S=1330\cdot 78030\\ S=119700~рублей \end{aligned}$$ Ответ: 119700.

$S$ - сумма долга

Долг увеличивается на $r\%$

$N$ - выплачиваемый период

Увеличение долга:

$$1+\frac{r}{100}=k$$

$X(Y)$ - выплата, при этом если $x=58564$, то $n=4$

А если $x=106964$, то $n=2$

Составим математические модели

Если $x=58564$ (первое)

$$(((S\left(1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left( 1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left( 1+\frac{r}{100}\right)-58564)\left(1+\frac{r}{100}\right))-58564=0$$

Если $y=106964$ (второе)

$$(S(1+\frac{r}{100})-106964)(1+\frac{r}{100})-106964=0$$

$$((Sk^2-kx-x)k-x)k-x=0\\ (Sk^3-k^2x-kx-x)k-x=0\\ Sk^4-k^3x-k^2x-xk-x=0$$

$$(Sk-y)k-y=0\\ Sk^2-ky-y=0 \\ Sk^2=ky+y\\ S=\frac{ky+y}{k^2}$$ Тогда при $S=\frac{ky+y}{k^2}$ $$\begin{aligned} \frac{ky+y}{k^2}\cdot k^4-k^3x-k^2x-xk-x=0\\ k^3y+k^2y-k^3x-k^2x-xk-x=0\\ k^2y(k+1)-k^2x(k+1)-x(k+1)=0\\ (k+1)(k^2y-k^2x-x)=0 \end{aligned}$$ Так как $k>0$, то $k^2y-k^2x-x=0$

$$k^2(y-x)-x=0\\ k^2(106964-58564)-58564=0\\ k^2\cdot 48400-58564=0\\ k^2=1,21\\ k=1,1$$

Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,1\\ \frac{r}{100}=0,1\\ r=10 \end{aligned}$$ Ответ: 10