Финансовая математика

$n=14$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

Начисление процентов:

$$\cdot\frac{r}{100}$$

$A$ - сумма всех платежей

$$1,15S=A$$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$$\frac{1S}{15}$$

Все переплаты составляют:

$$1,15S-S=0,15S$$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$$S\cdot\frac{r}{100}$$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{14}$):

$$S-\frac{1S}{14}$$

Заплатили во второй месяц:

$$(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}$$

Заплатили в третий месяц:

$$(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}$$ $$\begin{aligned} 0,15S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{14}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,15S=(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})\cdot\frac{Sr}{100} \end{aligned}$$ Это сумма членов арифметической прогрессии:

$$(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$\begin{aligned} 15=r\cdot \frac{1+\frac{1}{14}}{2}\cdot 14\\ 15=r\cdot\frac{15}{2}\\ r=2 \end{aligned}$$ Ответ: 2

$n=12$ $N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга (в млн. рублей)

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$r=5$

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$$\frac{S}{12}$$

Составим математическую модель для суммы выплат:

Заплатили в первый месяц:

$$S\cdot\frac{r}{100}$$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$):

$$S-\frac{S}{12}$$

Заплатили во второй месяц:

$$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$$

Заплатили в третий месяц:

$$(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}$$

И так далее:

$$\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 1,59= \left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+…+\frac{1}{12}\right)\cdot S\cdot 0,05+S \end{aligned}$$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{1+\frac{1}{12}}{2}\cdot 12\\ 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{13}{2}\\ 1,59=S+S\cdot 0,325\\ 1,59=S\cdot 1,325\\ S=\frac{1,59}{1,325}\\ S=\frac{1590}{1325}\\ S=1,2~млн. руб. \end{aligned}$$ Ответ: 1,2

1. За первые 12 месяцев мы выплатим половину долга, так как долг уменьшается равномерно. $$\frac{2,4}{2}=1,2~млн.руб.$$

2. Мы выплатим $\%$ за первые 12 месяцев.

Составим мат. модель для выплаченных процентов в первые 12 месяцев.

$$2,4\cdot\frac{3}{100}+2,3\cdot\frac{3}{100}+2,2\cdot\frac{3}{100}+…+1,3\cdot\frac{3}{100}$$

Где $\cdot 0,03–3\%$ от суммы долга;

$$\frac{3}{100}\cdot (2,4+2,3+2,2+…+1,3)=\frac{3}{100}\cdot\left(\frac{2,4 + 1,3}{2}\cdot 12\right)=\frac{3\cdot 3,76}{100}=0,666~млн.руб.$$

Сумма выплаты банку с учетом погашения основного долга:

$$1,2+0,666=1,866~млн.руб.$$

Ответ: 1,866 млн.руб.

Расчет ведем в тыс. руб.

15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться на

$$\frac{75}{15}=5~тыс. руб.$$ Для того, чтобы выплата, состоящая из основного долга и процентов, нам нужно чтобы проценты были:

$$\%=6,25–5=1,25$$

Введем переменную ост. – остаток, тогда: $$\begin{aligned} \frac{ост.\cdot 7,5}{100}<1,25\\ ост.<\frac{50}{3} \\ ост. < 16\frac{2}{3} \end{aligned}$$ Нам подойдут последние три месяца, когда долг составлял $5$, $10$ и $15$ тыс.руб.

Ответ: 3.

$S$ - размер кредита (в тыс. руб.)

$S=1100$ тыс. руб.

$n$ - количество месяцев

$n=31$

$r=2$ (увеличение кредита в $\%$)

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

$A$ - общая сумма выплат

$A=1503$ тыс. руб.

Пусть $x$ - уменьшение долга с $1$ по $30$ месяц. Тогда переплата составляет:

$$1503-1100=403~тыс. руб.$$

Составим математическую модель для переплат:

Начисление $\%$ в первый месяц:

$$1100\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ во второй месяц:

$$(1100-x)\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ в третий месяц:

$$(1100-2x)\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ в последний месяц:

$$(1100-30x)\cdot 0,02$$

$$403=1100\cdot 0,02+(1100-x)\cdot 0,02+(1100-2x)\cdot 0,02+…+(1100-30x)\cdot 0,02\\ 403=0,02\cdot (1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x)$$

Арифметическая прогрессия:

$$1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x$$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$403=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2}\cdot 31 \Leftrightarrow 13=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2} \Leftrightarrow 13=0,02\cdot (1100-15x)$$ $$13=22-0,3x \Leftrightarrow 0,3x=22-13 \Leftrightarrow 0,3x=9 \Leftrightarrow 3x=90 \Leftrightarrow x=30$$ Тогда долг $15$-го числа $30$-го месяца будет:

$$1100-30\cdot 10=200~тыс. руб.$$

Ответ: 200