Финансовая математика

$S$ - долг

$n=5$

$n$ - количество лет

$r=30$

$2027$, $2028$ и $2029$ выплачиваются только начисляемые $\%$

$x=338$ тыс. руб. (платежи, выплачиваемые в $2030$ и $2031$)

$A$ - общая сумма выплат

Составим математическую модель

Начисляемые проценты:

$$S\cdot 0,3\cdot 3$$

$$S\cdot 0,3\cdot 3+338+338=A$$

Размер долга на начало $2030$:

$$1,3S$$

Размер долга после первой выплаты в $338$ тыс. рублей:

$$(1,3S-338)1,3$$

$$(1,3S-338)1,3-338=0\\ 1,3^2S-338\cdot 1,3-338=0\\ 1,69S=2,3\cdot 338\\ S=430 ~тыс. руб.$$

Тогда:

$$A=430\cdot 0,9+2\cdot 338=414+676=1090~тыс. руб.$$

Ответ: 1090

$S$ - долг

$S=220$ тыс. руб.

$n=5$

$n$ - количество лет

$R$ - начисляемые $\%$

$A$ - общая сумма выплат

$A=420$ тыс. руб.

$P$ - размер долга на $2027$, $2028$ и $2029$ (платятся только $\%$)

$P=220$ тыс. руб.

$X$ - выплата в $2030$ и $2031$

Увеличения долга на $r\%$:

$$1+\frac{r}{100}\\ 1+\frac{r}{100}=k,$$

то есть:

$$\frac{r}{100}=k-1\\ A=3\cdot 220\cdot\frac{r}{100}+2x$$

Проценты, начисленные в $2027$, $2028$ и $2029$:

$$220\cdot\frac{r}{100}$$

В эти годы оплатили только $\%$

Составим математическую модель для изменения суммы долга в $2030$ и $2031$ годах

$$(S(1+\frac{r}{100})-x)(1+\frac{r}{100})-x=0\\ (Sk-x)k-x=0\\ Sk^2-xk-x=0\\ Sk^2=x(k+1)\\ 220k^2=x(k+1)$$ $$3\cdot 220\cdot \frac{r}{100}+2x=420\\ 3(k-1)220+2x=420\\ 660k-660+2x=420\\ 660k+2x=1080\\ 2x=1080-660k\\ x=540-330k$$ Тогда: $$\begin{aligned} 220k^2=(540-330k)(k+1)\\ 220k^2=540k-330k^2+540-330k\\ 550k^2-210k-540=0\\ 55k^2-21k-54=0\\ D=441+220\cdot 54=9\cdot 1369\\ k_1=\frac{21+3\cdot 37}{110}=1,2\\ k_2=\frac{21-3\cdot 37}{110}<0, но ~k>0\\ k=1,2 \end{aligned}$$ Значит: $$\begin{aligned} \frac{r}{100}=1,2-1\\ \frac{r}{100}=0,2\\ r=20 \end{aligned}$$ Ответ: 20

$S$ - сумма, взятая в кредит (в рублях)

$r=31$ (увеличение долга в $\%$)

$x=69690821$ руб. (выплаченная часть долга)

$n=3$

$n$ - количество лет

Начисление процентов в $1$ год:

$$S\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа в $1$ год:

$$S\cdot 1,31-69690821$$

Начисление процентов во $2$ год:

$$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа во $2$ год:

$$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$$

Начисление процентов в $3$ год:

$$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$$

Выплата ежегодного платежа в $3$ год:

$$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$$

Составим математическую модель: $$\begin{aligned} ((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3-69690821\cdot 1,31^2-69690821\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3=69690821\cdot (1,31^2+1,31+1)\\ S=69690821\cdot\frac{1,31^2+1,31+1}{1,31^3}\\ S=69690821\cdot\frac{4,0261}{2,248091}\\ S=124809100~руб \end{aligned}$$ Значит, $124809100$ руб. было взято в банке.

Ответ: 124809100

$S$ - сумма, взятая в кредит

$r\%$ (увеличение долга в $\%$)

Увеличение долга:

$$1+\frac{r}{100}$$

$n$ - количество лет

Если $n=4$, то $x_1=776600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=2$, то $x_2=1317600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=4$

Начисление $\%$ в $1$ год:

$$S\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата первого платежа:

$$S\cdot (1+\frac{r}{100})-x$$

Начисление $\%$ во $2$ год:

$$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата второго платежа:

$$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$$

Начисление $\%$ в $3$ год:

$$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Выплата четвертого платежа:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$$

Начисление $\%$ в $4$ год:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Составим математическую модель.

Пусть:

$$(1+\frac{r}{100})=k$$

Если $n=4$:

$$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})=0\\ (((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0$$

Если $n=2$:

$$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2=0\\ (Sk-x_2)k-x_2=0\\ Sk^2-x_2k-x_2=0$$

$$(((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ ((Sk^2-x_1k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ (Sk^3-x_1k^2-x_1k-x_1)k-x_1=0\\ Sk^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ Sk^4=x_1(k^3+k^2+k+1)$$ $$Sk^2-x_2k-x_2=0\\ S=\frac{x_2+x_2k}{k^2}$$ Сумма геометрической прогрессии:

$$k^3+k^2+k+1\\ Sk^4=x_1\frac{k^4-1}{k}-1$$

Но так как:

$$S=\frac{x_2+x_2k}{k_2}$$

Значит:

$$(\frac{x_2+x_2k}{k^2})\cdot k^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^2x_2+x_2k^3-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^3(x_2-x_1)+k^2(x_2-x_1)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)(k^3+k^2)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)k^2(k+1)-x_1(k+1)=0$$

$$((x_2-x_1)k^2-x_1)(k+1)=0$$

сократим на $(k+1)$, так как $k>0$

$$(x_2-x_1)k^2-x_1=0\\ k^2=\frac{x_1}{x_2-x_1}$$

Тогда:

$$k^2=\frac{777600}{1317600-777600}=\frac{777600}{540000}=\frac{7776}{5400}=1,44$$

Значит: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,2\\ \frac{r}{100}=0,2\\ r=20 \end{aligned}$$ Ответ: 20

$n=12$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$A$ - сумма всех платежей

$$1,13S=A$$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$$\frac{1S}{12}$$

Начисление процентов:

$$\cdot \frac{r}{100}$$

Переплаты составляют:

$$1,13S-S=0,13S$$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$$S\cdot \frac{r}{100}$$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$):

$$S-\frac{1S}{12}$$

Заплатили во второй месяц:

$$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$$

Заплатили в третий месяц: $$\begin{aligned} (S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot (S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}) \end{aligned}$$ Сумма членов арифметической прогрессии:

$$S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}$$

Сумма арифметической прогрессии: $$\begin{aligned} \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12|\cdot 100\\ 13S=r\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12\\ 13S=r\cdot\frac{12S+S}{2}\\ 26S=r\cdot 13S\\ r=2 \end{aligned}$$ Ответ: 2