Стереометрия

Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Вычислим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

Найдем периметр основания: $$P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$$

Площадь поверхности состоит из двух оснований и боковой поверхности: $$S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 24 + P \cdot h = 48 + 24h$$

Решим уравнение: $$48 + 24h = 288 \\ 24h = 240 \\ h = 10 \text{ см}$$

Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ см}$$

Вычислим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

Найдем периметр основания: $$P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$$

Вычислим площадь боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2$$

Найдем полную площадь поверхности: $$S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 24 + 240 = 288 \text{ см}^2$$

Объём конуса вычисляется по формуле: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = 25$$

Объём цилиндра с тем же основанием и высотой: $$V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}}h$$

Из первого уравнения выразим $S_{\text{осн}}h$: $$S_{\text{осн}}h = 3 \times 25 = 75$$

Объём цилиндра: $$V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}}h = 150$$

Объём конуса составляет треть от объёма цилиндра: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}V_{\text{цил}} = \frac{150}{3} = 50$$

Для вписанного конуса: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = 5$$

Тогда объём цилиндра: $$V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}}h = 3 \times V_{\text{кон}} = 15$$