Производная и первообразная

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. Касательная к графику функции $y = f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = 8 - 5x$, значит её угловой коэффициент должен быть равен $-5$ или $y = f'(x) = -5$. Производная равна $-5$ в точке $x = 2$.

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. Касательная к графику функции $y = f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = 0 \quad$(т.е оси $X$), значит её угловой коэффициент должен быть равен $0$ или $y = f'(x) = 0$. Производная равна $0$ в точке $x = -3$.

Производная функции $y = f(x)$ равна нулю в точках экстремума: $-2, -1, 1, 5, 7$. Всего таких точек $5$.

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = 2\cdot ax + 2 \\ 3x + 1 = ax^2 + 2x + 3\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ ax^2 - x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ \frac{x}{2} - x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ \\ x = 4 \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = \frac{1}{2\cdot4}= \frac{1}{8} = 0,125$$

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 = 56x + b \\ -5x + 8 = 28x^2 + bx + 15\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + x(b + 5) + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + x(-5 - 56x + 5) + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + -56x^2 + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 1 - 4x^2 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ (1 - 2x)(1 + 2x) = 0\\ \end{cases}$$

С учётом того, что абсцисса точки касания должна быть положительна:

$$\begin{cases} -5 - 56x = b \\ x = \frac{1}{2}\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -33 \\ x = \frac{1}{2}\\ \end{cases}$$