Равнобедренные треугольники

Рассмотрим треугольник $ACH$:

$$\cos ACB = \cos (180 - \angle ACH) = -\cos ACH = -\frac{CH}{AC} = -\frac{\sqrt{AC^2 - AH^2}}{25} =$$ $$= -\frac{\sqrt{625 - 400}}{25} =-\frac{15}{25} = -0,6$$

Площадь треугольника можно найти как: $S = \frac{1}{2}\cdot a \cdot b\cdot\sin \alpha$

Где:

$a$ и $b$ – стороны треугольника

$\sin \alpha$ – синус угла между этими сторонами

Найдём площадь:

$$S = \frac{1}{2}\cdot10\cdot10\cdot\frac{1}{2} = 25$$

Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный: $AH = HB$.

Тогда:

$$AH = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}$$

Угол при вершине $C$ равен $120^\circ$, углы при основании $AB$ равны: $$\angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

Из прямоугольного треугольника $AHC$: $$AC = \frac{AH}{\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$$

Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный: $AH = HB$.

Угол при вершине $C$ равен $120^\circ$, углы при основании $AB$ равны: $$\angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

Из прямоугольного треугольника $AHC$: $$AH = AC \cdot \cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$$ $$AB = 2AH = 6$$

Площадь треугольника можно выразить через боковые стороны и угол при вершине: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin 30^\circ$$ Так как треугольник равнобедренный ($AC = BC = x$) то: $$25 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin 30^\circ = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x^2}{4}$$ $$x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$$