Сумма произведений событий

Рассмотрим вероятности поражения цели при различном количестве выстрелов. Вероятность поражения цели при $n$ выстрелах равна сумме вероятностей поражения цели при каждом из выстрелов, при условии, что предыдущие выстрелы были промахами.

• 1 выстрел: Вероятность поражения цели равна $0,5$.
• 2 выстрела: - Попадание с первого выстрела: $0,5$. - Промах первого выстрела и попадание второго: $(1 - 0,5) \cdot 0,5 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$. - Общая вероятность: $0,5 + 0,25 = 0,75$.
• 3 выстрела: - Попадание с первого выстрела: $0,5$. - Промах первого и попадание второго: $0,25$. - Промах первых двух и попадание третьего: $(1 - 0,5)^2 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$. - Общая вероятность: $0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875$.

Сравнивая полученные вероятности с требуемым значением $0,8$:

• Для 2 выстрелов: $0,75 < 0,8$ — недостаточно.
• Для 3 выстрелов: $0,875 \geq 0,8$ — условие выполняется.

Рассмотрим вероятности поражения цели:

• 1 выстрел: $P_1 = 0,6$
• 2 выстрела: - Попадание с первого выстрела: $0,6$ - Промах первого и попадание второго: $0,4 \cdot 0,6 = 0,24$ - Общая вероятность: $0,6 + 0,24 = 0,84$

Сравнение с требуемой вероятностью:

• Для 1 выстрела: $0,6 < 0,8$ - недостаточно
• Для 2 выстрелов: $0,84 \geq 0,8$ - условие выполняется

Рассмотрим вероятности поражения цели:

• 1 выстрел: $P_1 = 0,5$
• 2 выстрела: - Попадание с первого выстрела: $0,5$ - Промах первого и попадание второго: $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ - Общая вероятность: $0,5 + 0,25 = 0,75$

Сравнение с требуемой вероятностью:

• Для 1 выстрела: $0,5 < 0,7$ - недостаточно
• Для 2 выстрелов: $0,75 \geq 0,7$ - условие выполняется

1. Определим вероятности исходов одной игры:

• Выигрыш (В): $P(B) = 0,3$
• Проигрыш (П): $P(\text{П}) = 0,3$
• Ничья (Н): $P(H) = 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4$

1. Благоприятные исходы для двух игр, дающие не менее 4 очков:

• Два выигрыша: В+В = 3+3 = 6 очков
• Выигрыш и ничья: В+Н = 3+1 = 4 очка
• Ничья и выигрыш: Н+В = 1+3 = 4 очка

1. Вычислим вероятности каждого благоприятного исхода:

• $P(B,B) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$
• $P(B,H) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$
• $P(H,B) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$

1. Общая вероятность: $$P = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33$$

1. Вероятности событий:

• Попадание с первого выстрела: $P_1 = 0,7$
• Промах первого выстрела: $P_{\text{промах}} = 1 - 0,7 = 0,3$
• Попадание со второго выстрела (после промаха): $P_2 = 0,3 \times 0,7 = 0,21$

1. Общая вероятность поражения мишени: $$P = P_1 + P_2 = 0,7 + 0,21 = 0,91$$