Финансовая математика

Пусть:

• $S = 3600$ тыс. руб. — первоначальная сумма вклада
• $S'$ — сумма вклада к концу третьего года
• $x$ — фиксированная сумма пополнения (в тыс. руб.)
• $1,1$ — коэффициент ежегодного увеличения (10% годовых)

Составим таблицу движения денежных средств:

По условию задачи: $$S' = \left(1 + \frac{48,5}{100}\right) \cdot S = 1,485 \cdot S$$

С другой стороны: $$S' = ((1,1 \cdot S + x) \cdot 1,1 + x) \cdot 1,1$$

Раскроем это выражение: $$S' = (1,1^2 \cdot S + 1,1 \cdot x + x) \cdot 1,1 = 1,1^3 \cdot S + 1,1^2 \cdot x + 1,1 \cdot x$$

Приравняем два выражения для $S'$: $$1,331S + 1,21x + 1,1x = 1,485S$$ $$2,31x = 1,485S - 1,331S$$ $$2,31x = 0,154S$$ $$x = \frac{0,154}{2,31}S = \frac{154}{2310}S$$

Подставим $S = 3600$ тыс. руб.: $$x = \frac{154}{2310} \cdot 3600 = \frac{154 \times 3600}{2310} = \frac{554400}{2310} = 240 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ 240

Движение средств Саши (в тыс. руб.)

Движение средств Паши (в тыс. руб.)

Сравнение результатов

$$\begin{align*} \text{Разница} &= 37,895 - 36,74 \\ &= 1,155 \text{ тыс. руб.} \\ &= \mathbf{1155} \text{ рублей} \end{align*}$$

Альтернативное решение через формулы

Для Саши: $$\begin{align*} &((50 \times 1,1 \times 0,9) \times 1,1 - 20) \times 1,1 \\ &= (49,5 \times 1,1 - 20) \times 1,1 \\ &= (54,45 - 20) \times 1,1 \\ &= 34,45 \times 1,1 = 37,895 \text{ тыс. руб.} \end{align*}$$

Для Паши: $$\begin{align*} &((50 \times 1,1 \times 0,8) \times 1,1 - 15) \times 1,1 \\ &= (44 \times 1,1 - 15) \times 1,1 \\ &= (48,4 - 15) \times 1,1 \\ &= 33,4 \times 1,1 = 36,74 \text{ тыс. руб.} \end{align*}$$

Разница: $37,895 - 36,74 = 1,155$ тыс. руб. = 1155 рублей

Ответ 1155

Пусть:

• $S$ — первоначальная сумма вклада (в млн руб.)
• $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент роста вклада за год (где $r$ — годовая процентная ставка)

Первый год:

1. Вклад увеличивается на проценты: $$S \cdot k$$

2. После этого Егор добавляет 0,9 от первоначальной суммы: $$S \cdot k + 0,9S$$

3. По условию после этих операций сумма стала 3,4 млн руб.: $$S \cdot k + 0,9S = 3,4$$ $$k = \frac{3,4 - 0,9S}{S} \quad (1)$$

Второй год:

1. Сумма в начале второго года (3,4 млн руб.) увеличивается на проценты: $$3,4 \cdot k$$

2. По условию эта сумма равна 2,2 от первоначальной: $$3,4 \cdot k = 2,2S$$ $$k = \frac{2,2S}{3,4} \quad (2)$$

Решаем систему уравнений:

Приравняем выражения (1) и (2) для $k$: $$\frac{3,4 - 0,9S}{S} = \frac{2,2S}{3,4}$$

Умножим обе части на $3,4S$: $$3,4(3,4 - 0,9S) = 2,2S^2$$ $$11,56 - 3,06S = 2,2S^2$$

Перенесем все в одну сторону: $$2,2S^2 + 3,06S - 11,56 = 0$$

Умножим на 100 для удобства: $$220S^2 + 306S - 1156 = 0$$

Сократим на 2: $$110S^2 + 153S - 578 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 153^2 - 4 \cdot 110 \cdot (-578) = 23409 + 254320 = 277729$$ $$\sqrt{D} = 527$$ $$S = \frac{-153 \pm 527}{220}$$

Отбрасываем отрицательный корень: $$S = \frac{-153 + 527}{220} = \frac{374}{220} = 1,7$$

Проверка: Найдем коэффициент $k$: $$k = \frac{2,2 \cdot 1,7}{3,4} = \frac{3,74}{3,4} = 1,1$$

Проверим первый год: $$1,7 \cdot 1,1 + 0,9 \cdot 1,7 = 1,87 + 1,53 = 3,4$$ — верно

Проверим второй год: $$3,4 \cdot 1,1 = 3,74$$ $$2,2 \cdot 1,7 = 3,74$$ — верно

Ответ 1,7

Введем обозначения:

• $S$ — первоначальная сумма
• $x = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент роста банка А
• $y = 1 + \frac{t}{100}$ — коэффициент роста банка Б

Первый случай: $$\begin{align*} \frac{5S}{6}x + \frac{S}{6}y &= 670 \quad (1) \\ \frac{5S}{6}x^2 + \frac{S}{6}y^2 &= 749 \quad (2) \end{align*}$$

Второй случай: $$\frac{S}{6}x + \frac{5S}{6}y = 710 \quad (3)$$

Из (1) и (3) выражаем: $$\begin{cases} 5x + y = \frac{4020}{S}\\ x + 5y = \frac{4260}{S} \end{cases}$$ Решая систему, находим: $$x = \frac{11}{10} \quad (r=10\%), \quad y = \frac{6}{5} \quad (t=20\%)$$ $$S = 600 \text{ у.е.}$$

Итоговая сумма во втором случае: $$\frac{600}{6}x^2 + \frac{5\cdot600}{6}y^2 = 100\cdot1.21 + 500\cdot1.44 = 841 \text{ у.е.}$$

Ответ 841

Рассмотрим максимальный случай, когда пополнения делаются все три раза.

Ответ: 1,948,353