Описанные окружности

Угол $AOD$ – центральный угол. Он равен дуге на которую опирается.

Угол $\angle ACB$ вписанный и равен половине меньшей дуги $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$

Найдём меньшую дугу $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$:

$$\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 180^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{DA} = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Найдём угол $\angle ACB$

$$\angle ACB = \frac{1}{2}\cdot\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = \frac{1}{2}\cdot 70^\circ = 35^\circ$$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

$$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ \Leftrightarrow \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$$

Угол $ABC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $ADC$. Градусная мера дуги $ADC$ равна сумме дуг $AD$ и $DC$: $$\overset{\frown}{ADC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC} = 145^\circ + 71^\circ = 216^\circ$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{ADC} = \frac{216^\circ}{2} = 108^\circ$$

1. Найдём градусные меры дуг. Сумма отношений: $$4 + 2 + 3 + 6 = 15 \text{ частей}$$

2. Вычислим меры дуг $BC$ и $CD$: $$\begin{aligned} \overset{\frown}{BC} &= \frac{2}{15} \times 360^\circ = 48^\circ \\ \overset{\frown}{CD} &= \frac{3}{15} \times 360^\circ = 72^\circ \\ \end{aligned}$$

3. Угол $BAD$ - вписанный, опирается на дугу $BD$: $$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 48^\circ + 72^\circ = 120^\circ$$

4. Вписанный угол равен половине дуги: $$\angle BAD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Угол $ABD$ вписанный и равен половине дуги на которую опирается:

$$\angle ABD = \frac{\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AD}}{2} = \frac{1}{2}\cdot(\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{ADC} - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{CD}) =$$ $$=\frac{1}{2}\cdot(2\angle ABC - 2\angle CAD) = \frac{1}{2}(2\cdot105^\circ - 2\cdot35^\circ) = 105^\circ - 35^\circ = 70^\circ$$