Описанные окружности

Рассмотрим треугольник $ACB$. Углы $CAB$ и $CBA$ это углы между касательной и хордой, которые равны половине дуги заключенной между ними.

$$\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - \frac{\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}}{2} - \frac{\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}}{2} =$$ $$= 180^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 122^\circ \Leftrightarrow \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 58^\circ$$

Угол $CAO$ равен $90^\circ$, так как $OA$ – это радиус окружности, проведённый в точку касания с прямой $AC$.

Угол $AOB$ центральный и равен дуге, на которую он опирается, следовательно:

$$\angle AOB = \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 64^\circ$$

Найдём угол $ACO$ из треугольника $AOC$:

$$\angle ACO = 180^\circ - \angle AOC - \angle OAC = 180^\circ - 64^\circ - 90^\circ = 26^\circ$$

Угол $CAO$ равен $90^\circ$, так как $OA$ – радиус, проведённый в точку касания.

Из треугольника $AOC$: $$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$$

Дуга $AB$ равна центральному углу $AOB$: $$\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = \angle AOB = \angle AOC = 62^\circ$$

Угол $CAO$ равен $90^\circ$, так как $OA$ – радиус, проведённый в точку касания.

Углы $AOB$ и $AOD$ центральные и равны дугам на которые опираются, следовательно:

$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$$

Найдём угол $ACO$ из треугольника $AOC$:

$$\angle ACO = 180^\circ - \angle AOC - \angle OAC = 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 26$$

Угол $CAO$ равен $90^\circ$, так как $OA$ – радиус, проведённый в точку касания.

Из треугольника $AOC$: $$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$$

Заметим, что $DB$ – диаметр окружности. Значит градусная мера дуги $DB$ составляет $180^\circ$.

Дуга $AD$ равна: $$\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AD} = 180^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 66 = 114^\circ$$